Максимальный дисбаланс в графике?

10

Пусть G связный граф G=(V,E) с узлами V=1n и ребер E . Обозначим через wi (целочисленный) вес графа G , где iwi=m - общий вес графа. Средний вес каждого узла тогда w¯=m/n . Пусть ei=wiw¯ обозначает отклонение узлаi из среднего. Мы звонимдисбалансв узле I .|ei|i

Предположим, что вес между любыми двумя соседними узлами может отличаться не более чем на 1 , т.

wiwj1(i,j)E.

Вопрос : Каков максимально возможный дисбаланс, который может иметь сеть, с точки зрения n и m ? Чтобы быть более точным, представьте себе вектор e=(e1,,en) . Я был бы одинаково доволен результатами, касающимися ||e||1 или ||e||2 .

Для ||e|| найти простую оценку в терминах диаметра графа: поскольку все ei должны суммироваться до нуля, если существует большое положительное значение ei , где-то должен быть отрицательный ej . Отсюда их разница |eiej|по крайней мере |ei|, но эта разница может составлять самое короткое расстояние между узлами i и j , которое, в свою очередь, может составлять самое большее диаметр графика.

Я заинтересован в более сильных границах, предпочтительно для или 2- нормы. Я предполагаю, что это должно включать некоторую спектральную теорию графов, чтобы отразить связность графа. Я пытался выразить это как проблему максимального потока, но безрезультатно.12

РЕДАКТИРОВАТЬ: больше объяснений. Я заинтересован в или 2- норме, так как они более точно отражают общий дисбаланс. Тривиальное отношение будет получено из | | е | | 1n | | | е | | и | | е | | 212||e||1n|||e||. Я ожидаю, однако, что из-за связности графика и моего ограничения в разнице нагрузок между соседними узлами, что1-и2-нормы должны быть намного меньше.||e||2n||e||12

Пример: Гиперкуб измерения d, с . Он имеет диаметр d = log 2 ( n ) . Максимальный дисбаланс не более d . Это предлагает в качестве верхней оценки для 1- нормы n d = n log 2 ( n ) . До сих пор мне не удавалось построить ситуацию, когда это на самом деле получается, лучшее, что я могу сделать, это что-то вроде | | е | | 1 = н / 2n=2dd=log2(n)d1nd=nlog2(n)||e||1=n/2где я встраиваю цикл в Гиперкуб и у узлов есть дисбалансы , 1 , 0 , - 1 и т. д. Таким образом, здесь граница отключена с коэффициентом log ( n ) , который я считаю слишком большим, так как я ищу (асимптотически) жесткие границы.0101log(n)

Lagerbaer
источник
1
интересный вопрос. есть ли конкретное приложение?
Суреш Венкат
2
@ Андрас Саламон: Спасибо за редактирование. @Suresh Venkat: Предположим, что веса представляют количество агентов одинакового размера, которые хотят минимизировать свою опытную нагрузку. Они захотят перейти от к j, если w i > w i . Если никто не хочет двигаться, мы называем это равновесием по Нэшу. Вопрос: Какой самый большой суммарный дисбаланс мы можем иметь в равновесии по Нэшу? ijwi>wi
Лагербаер
У вас есть пример графика, где ваша простая граница диаметра слишком свободна?
mhum
Ну, я могу тривиально связать две другие нормы, используя . Я заинтересован в 1- или 2- норме, так как они более точно отражают "полный" дисбаланс. Я добавил пример к своему вопросу. ||e||1n||e||12
Лагербаер
Для гиперкуба, что если мы взвесим вершины по весу Хэмминга? Я получаю что-то вроде дляl2, и я думаю, чтоl1будет порядкаnd. d(n2)/2l2l1nd
Артем Казнатчеев

Ответы:

8

Так как ограничен диаметром d , норма 1 будет тривиально ограничена n d , аналогично для нормы 2 , кроме |ei|d1nd2(фактическиp-норма ограниченаn 1 / p d).ndpn1/pd

случай оказывается на удивление легко анализировать.1

Для пути легко увидеть, что - это O ( n 2 ) , поэтому вы не можете сделать лучше, чем O ( n d ) .e1O(n2)O(nd)

Для полного -ого дерева вы можете разделить его пополам в корне, установив w root = 0 , поднимаясь с одной стороны и опуская другую, пока листья не получат | е я | = | ш я | = log k n , производя O ( n log k n ) = O ( n d ) снова.kwroot=0|ei|=|wi|=logknO(nlogkn)=O(nd)

Для клики не имеет значения, как вы распределяете веса, так как все они будут в пределах друг от друга, и это снова приведет к O ( n ) = O ( n d ) .1O(n)=O(nd)

Когда вы понимаете, что мы говорим здесь о функции , и тогда мы берем ее норму 1 , если вы можете произвольно распределить веса e i[ - d / 2 , d / 2 ] равномерно по всему диапазону, граница будет O ( n d ) .e:Z[d/2,d/2]R1ei[d/2,d/2]O(nd)

Единственный способ изменить это - играть в игры с массой. Например, если у вас есть несколько гигантских клик в точках, которые обязательно сбалансированы, например, гигантская клика с двумя путями равной длины, выступающими из нее, то вы можете рассчитывать только на оценку (например) .O(d2)

Это может быть верно и для расширителей в некоторой степени, но я не уверен. Я мог бы представить себе случай, когда вы устанавливаете в регулярном графе, а затем позволяете значениям увеличиваться впоследствии с каждым прыжком. Кажется вероятным, что среднее может иметь наибольшую массу, но я не знаю, будет ли этого достаточно, чтобы повлиять на границы.w1=0

Я думаю, что вы могли бы так же рассуждать о .2

РЕДАКТИРОВАТЬ:

В комментариях мы выяснили (свободную) оценку O ( | E | / λ 2 ( L ) ), используя ограничения задачи и некоторую базовую теорию спектральных графов.2O(|E|/λ2(L))

Жозефина Меллер
источник
Мне нравится твой ответ. Однако у меня есть проблема с « до тех пор, пока вы можете произвольно распределить веса равномерно по всему диапазону ». Не могу ли я представить себе ситуацию, когда граница диаметра позволила бы мне разместить вес но тогда структура графика такова, что я не могу компенсировать этот большой положительный вес? Итак, хотя O ( n d ), конечно, является верхней границей, возможно ли получить более жесткие границы? В конечном счете, используя второе наименьшее собственное значение лапласиана или второе по величине собственное значение смежности (как они кодируют информацию о связности)? ei=d/2O(nd)
Лагербаер
1
Ну вы не размещая , вы размещения ш я . Таким образом, если у вас есть перекос e i , должно быть большое количество небольших весов, которые компенсируют его по другую сторону от среднего значения, или некоторый другой большой вес, диаметрально противоположный этому. Единственный способ получить оценку меньше O ( n d ) - это как-то рассчитывать на структуру. И, как я уже сказал, я не уверен, что это будет означать, скажем, для экспандера. Я не думаю, что вы могли бы сделать это исключительно на основе проводимости, из-за случаев, которые я изложил в своем ответе. eiwieiO(nd)
Жозефина Мёллер
Позвольте мне предложить другой пример. Граф Дамбелла с двумя кликами имеет очень низкую проводимость, но его дисбаланс ограничен 2.
Джозефина Мёллер,
Граница, связанная со структурой, была бы тем, чем я был бы совершенно доволен. Вот почему я упомянул собственные значения, так как они относятся к свойствам соединения. Например, существуют ограничения на диаметр, средний путь, изопериметрическое число и т. Д. В терминах второго наименьшего собственного вектора матрицы Лапласа графа.
Лагербаер
Читайте ваш другой пример только сейчас. Я ожидаю, что такой граф также будет иметь очень маленькое собственное значение Лапласа второго наименьшего размера, так как изопериметрическое число будет около . 2/n
Лагербаер
3

Для связанных графов дисбаланс ограничен сверху диаметром графа. Для того, чтобы связать дисбаланс , мы можем переписать каждое w k как w k - v 1 + v 1 - v 2 + v 2 - . , , - v k + v k - w i + w i, где w k ,|wi1/nkwk|wkwkv1+v1v2+v2...vk+vkwi+wi - кратчайший путь от w i до w k . Определим w k i = w k - v 1 + v 1 - v 2 + v 2 - . , , - v k + v k - w i . Мы можем написать | w i - 1 /wk,v1,...,vk,wiwiwkwki=wkv1+v1v2+v2...vk+vkwi

|wi1/nkwk|=|wi1/nk(wki+wi)|=|kiwkin|

wkiikwiwj1i,jE

|wi1/nkwk|(n1)nD

kD+1knmD+1D

Николас Руоцци
источник
D<00kk(n1)/nknkможно сделать настолько большим, насколько это необходимо.
Андрас Саламон,
G
1
||e||