Несопоставимые натуральные числа

Игра «Назови наибольшее число» просит двух игроков тайно записать число, и победителем становится тот, кто записал большее число. Игра обычно позволяет игрокам записывать функции, оцененные в определенный момент, поэтому $2^{2^{2^{2}}}$ также было бы приемлемо записать.

Значение функции Busy Beaver, $BB(x)$ , не может быть определено (в ZFC или любой разумной последовательной аксиоматической системе) для больших значений $x$ . В частности, $BB(10^4)$ не может быть определен согласно этой статье . Однако это не означает, что мы не можем сравнивать значения функции Busy Beaver. Например, мы можем доказать, что $BB(x)$ строго монотонна .

Предположим, что мы позволяем игрокам записывать выражения, включающие композиции элементарных функций, натуральные числа и функцию Busy Beaver. Есть ли два выражения, которые два игрока могут записать так, что мы можем доказать в ZFC, что определение победителя в ZFC невозможно (при условии, что ZFC непротиворечив)?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Первоначально этот вопрос сказал «... произвольные комбинации вычислимых функций, натуральных чисел и функции Busy Beaver».

Если мы позволим $f(x)$ принять значение $3$ если $BB(x) >$ [что-то безбожно большое и невыразимое на этом сайте] и $7$ если это не так, то $f(10^4)$ и $6$ несопоставимы.

Это не удовлетворяет меня, в основном потому, что $f$ не является разумной функцией для кого-то, чтобы использовать в этой игре. Я не понимаю, как выразить свою интуицию по этому поводу, поэтому я ограничил вопрос, чтобы избежать кусочных функций.

$B$$\Phi$$\iff$ $\Phi$$B$$\neg$$\iff$ $\Phi$

$\Phi$$B(m_i)=n_i$$1\le i\le k$

$m_i$$n_i$