Позволять быть конечным алфавитом. Для данного языкасинтаксический Моноид является известным понятием в теории формального языка. Кроме того, моноид признает язык если существует морфизм такой, что ,
Тогда у нас есть хороший результат:
Моноид признает если является гомоморфным образом подмоноида (написано как ).
Вышеуказанное обычно имеет место в контексте обычных языков, и тогда все приведенные выше моноиды конечны.
Теперь предположим, что мы заменим с произвольным моноидом и мы говорим, что подмножество признан если существует морфизм такой, что , Тогда у нас еще есть, если признает , тогда (см. S. Eilenberg, Автоматы, Машины и Языки, Том B), но верно ли обратное?
В доказательство для обратное доказывается путем использования свойства, если для некоторого морфизма а также также морфизм, то мы можем найти такой, что держит, просто выбрав некоторые для каждого и распространяя это на морфизм из в , Но это не работает для произвольных моноидовпоэтому я ожидаю, что приведенное выше утверждение будет ложным. И если это неверно, то для какого рода моноид у все еще верно, и эти моноиды получили какое-либо внимание в исследовательской литературе?
Ответы:
Да, эти моноиды получили внимание в исследовательской литературе и фактически приводят к сложным вопросам.
Определение . МоноидN называется проективным, если выполняется следующее свойство: еслиf:N→R является моноидным морфизмом и h:T→R является сюръективным морфизмом, то существует морфизм g:N→T такой, что f=h∘g .
Вы можете найти длинное обсуждение проективных моноидов в [1], сразу после определения 4.1.33. В частности, показано, что каждая проективная конечная полугруппа является полосой (полугруппой, в которой каждый элемент идемпотентен). Но обратное неверно, и это действительно открытая проблема, чтобы решить, является ли конечная полугруппа проективной.
[1] Дж. Роудс и Б. Стейнберг, Theq теория конечных полугрупп . Спрингер Монографии по математике. Springer, New York, 2009. XXII + 666 стр. ISBN: 978-0-387-09780-0
источник