Задача суммы квадратных корней задает для заданных двух последовательностей и натуральных чисел, является ли сумма меньше, равно или больше суммы . Статус сложности этой проблемы открыт; см.этот постдля получения дополнительной информации. Эта проблема естественным образом возникает в вычислительной геометрии, особенно в задачах, связанных с евклидовыми кратчайшими путями, и является серьезным камнем преткновения при переносе алгоритмов для этих задач из реальной ОЗУ в стандартную целочисленную ОЗУ.
Назовите задачу Π сумма квадратов-корней-хард (сокращенно Σ√-хард?), Если есть сокращение за полиномиальное время от суммы задачи о квадратных корнях к Π. Нетрудно доказать, что следующая проблема сложна как сумма квадратов:
Кратчайшие пути в 4d евклидовых геометрических графах
Экземпляр: граф , вершинами которого являются точки в Z 4 с ребрами, взвешенными по евклидову дальнему; две вершины s и t
Выход: Самый короткий путь от до т в G .
Конечно, эта проблема может быть решена за полиномиальное время в реальном ОЗУ с использованием алгоритма Дейкстры, но каждое сравнение в этом алгоритме требует решения проблемы суммы квадратов корней. Сокращение использует тот факт, что любое целое число может быть записано как сумма четырех совершенных квадратов; Результатом сокращения является цикл на вершин.
What other problems are sum-of-square-roots-hard? I'm particularly interested in problems for which there is a polynomial-time solution on the real RAM. See my previous question for one possibility.
As Robin suggests, boring answers are boring. For any complexity class X that contains sum-of-square-roots (for example, PSPACE or EXPTIME), every X-hard problem is boringly sum-of-square-roots-hard.
Ответы:
This was discussed a bit in the following survey (starting slide 21): http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf
which mentions Euclidean TSP, approximation of actual Nash equilibrium, and talks about the classes PosSLP and FIXP.
источник
This should be a comment, as it is a mostly boring answer, but I don´t have enough reputation.
The sum of square roots problem is inPPPPPPP from [ABKM98], so any problem hard for this class has the required property. This is done by reducing the sum-of-square-roots problem to a problem called PosSLP , defined as deciding whether a straight-line problem represents a positive integer, so that problem is sum-of-square-roots hard.
[ABKM98]: On the Complexity of Numerical analysis, by Allender, Burgisser, Kjeldgaard-Pedersen and Miltersen.
источник