В качестве продолжения моего предыдущего вопроса , который был разрешен Сянь-Чжи Чангом, приведу еще одну попытку найти соответствующее обобщение теоремы Рамсея. (Вам не нужно читать предыдущий вопрос; этот пост является самостоятельным.)
Параметры: целые числа даны, а затем выбран достаточно большим. Терминология:-подмножество является подмножеством размера ,
Позволять , Для каждого-подмножество назначьте цвет ,
Определения:
- является монохроматическим, если для всех -подмножеств а также ,
- это разнообразно , если такой, что а также для всех .
Например, если , то разнообразны, а - нет. Обратите внимание, что подмножество разнообразного набора не обязательно разнообразно.
Теперь теорема Рэмси говорит , что независимо от того , как мы выбираем , есть монохромные -подмножество . И , очевидно , это тривиально , чтобы найти разнообразный -подмножество .
Вопрос: есть ли всегда разнообразны и монохромные -подмножества ?
Изменить: Сянь-Чи Чанг показывает, что утверждение является ложным для простого , но как насчет составного ? В моих приложениях у меня будет большая свобода выбора точных значений , если я могу сделать их произвольно большими. Они могут быть степенями простых чисел, произведений простых чисел или чего-либо еще, что необходимо для того, чтобы сделать утверждение верным.
источник
Возможно, я неправильно понял ваш вопрос, но если нет, я думаю, что это неверно. Окрасьте k-множества, все члены которых совпадают по модулю d, красным, остальные k-множества синим. Если n> kd, то любой n-набор должен содержать k-набор, все члены которого являются конгруэнтными по модулю d и, следовательно, красным. С другой стороны, если k-множество содержит два последовательных элемента разнородного n-множества, то оно синего цвета.
источник