Я думал о следующем вопросе в
разное время с тех пор, как увидел этот вопрос по криптографии .
Вопрос
Позволять быть отношением TFNP . Может ли случайный оракул помочь П / поли
сломаться?с ничтожной вероятностью? Более формально,
Имеет ли
для всех P / поли алгоритмов, является незначительным
обязательно подразумевают, что
для почти всех O racles , Для всех P / поли оракула-алгоритмы ,Ничтожно мал
?
Альтернативная формулировка
Соответствующий набор оракулов (таким образом измеримым), поэтому, принимая контраположительное и применяя закон Колмогорова ноль один , следующая формулировка эквивалентна исходной.
Имеет ли
для почти всех O racles ,
существует P / poly oracle-алгоритм такой, что не пренебрежимо мало
обязательно подразумевают, что
существует алгоритм P / poly такой, что не пренебрежимо мало
?
Единый корпус
Вот доказательство для единой версии :
Существует только многочисленное множество алгоритмов оракула PPT, поэтому из-за исчисляемой аддитивности нулевого [идеального] [8] есть алгоритм PPT такой, что для ненулевого набора оракулов,
не является ничтожным Позволять будь таким оракулом-алгоритмом.
Точно так же, пусть быть положительным целым числом таким, чтобы для ненулевого набора оракулов ,
бесконечно часто, по крайней мере, , где длина ввода.
Противоположным Борел-Кантелли ,
бесконечен.
По сравнительному тесту , бесконечно часто ,
Позволять быть алгоритмом PPT, который [имитирует оракула] [12] и работает с этим смоделированным оракулом.
Fix и разреши быть набором оракулов такой, что ,
Если тогда не нуль
поскольку бесконечно часто, не является незначительным.
Поэтому единый вариант верен. В доказательстве критически используется тот факт, что существует
только много счетных алгоритмов PPT . Эта идея не работает в
неоднородном случае, так как существует множество континуальных алгоритмов P / poly oracle.
Ответы:
Обратите внимание, что я буду использовать
чтобы соответствовать обозначениям теоремы 2 .
Предположим, что почти для всех оракуловO , существует P / poly
C такой, что Prx[R(x,CO(x))] не является ничтожным
oracle-алгоритм
Почти для всех оракуловO существует такое положительное целое число d, что
Prx∈{0,1}n[R(x,CO(x))] бесконечно часто больше, чем 1/(nd) ,
существует последовательность цепей размером не более d + n d, такая что
По счетной аддитивности существует такое положительное целое число d, что для ненулевого набора оракуловO существует последовательность цепей размером не более d + n d такая, что
Prx∈{0,1}n[R(x,CO(x))] бесконечно часто больше, чем 1/(nd) ,
Пусть j будет таким объявлением, и пусть z будет (не обязательно эффективным) алгоритмом оракула, которыйj
Prx∈{0,1}n[R(x,CO(x))] , Противоположным Борел-Кантелли ,1/(n2)<ProbO[1/(nj)<Prx∈{0,1}n[R(x,(zO)O(x))]] для бесконечно многих п.
принимает n в качестве входных данных и выводит лексикографически наименьшую схему оракула размером не более j + n
что максимизирует
Для таких n,
,
A быть оракулом-алгоритмом, который принимает 2 входа, один из которых n и делает следующее:
Позволять
Выберите случайную n-битную строкуx , Попытайтесь
y удовлетворяет R (x, y), затем выдает 1, иначе выдает 0.
A это не только противник.)
1/(n2+j)<ProbO[AO(n,zO(n))] ,
f=2⋅p⋅(j+nj)⋅n(2+j)⋅2 ,
S такой, что с P как в этой теореме,
1/(n2+j)<ProbO[AO(n,zO(n))] тогда
[проанализировать другой вход как цепь оракула и запустить эту схему оракула на n-битной строке].
Если это удастся и вывод оракула
(Обратите внимание, что
Для бесконечно многих п,
Пусть p будет таким же, как в теореме 2 , и положим
По теореме 2 существует функция оракула
если
Для такого, что
В частности, существует[ оракул C размером не более j + nj] а также
[ назначение длины не более f] такой, что с этим входом и предварительной выборкой,
A вероятность вывода 1 больше, чем 1/(2⋅(n2+j)) ,
j может быть представлен битами poly (n), поэтому для p ограничен
A это означает, что существуют схемы оракула размером не более j + nj и назначение
1/(2⋅(n2+j)) , Поскольку такие схемы не могут делать запросы длиннее, чем j + nj биты, предварительно выбранные входы длиннее, чем это, можно игнорировать, поэтому такая предварительная выборка может эффективно и безошибочно моделироваться случайным оракулом и поли (n) жестко закодированными битами. Это означает, что существуют схемы оракула полиномиального размера, так что при стандартном случайном оракуле вероятность того, что схемы найдут решение, больше1/(2⋅(n2+j)) , Такой случайный оракул в свою очередь может быть эффективно-и-отлично моделируется только с обычными случайными битами, поэтому существует полиномиального размера вероятностные не являющиеся схемы -oracle, вероятность нахождения решения больше1/(2⋅(n2+j)) , В свою очередь, с помощью жесткого кодирования оптической случайности существуют детерминированные (неракулярные) схемы полиномиального размера, вероятность (из-за выбора x) которых может найти решение больше, чем1/(2⋅(n2+j)) ,
1/(n2+j)<ProbO[AO(n,zO(n))] , так что есть такой многочлен, что
Oracle-схемы размером не более j + n
сверху полиномом от n, что означает, что f также ограничен сверху полиномом от n.
По построению
длины полинома таким образом, чтобы при запуске с этой предварительной дискретизацией вероятность нахождения решения цепями была больше, чем
Как показано ранее в этом ответе, существует бесконечно много n таких, что
последовательность, чья n-я запись является наименьшим лексикографическимPrx∈{0,1}n[R(x,C(x))]
[контур С размера, ограниченного сверху этим полиномом], который максимизирует
является P / poly алгоритмом, вероятность которого (по выбору x) найти решение не пренебрежимо мала.
Поэтому смысл в теле моего вопроса всегда держится.
Чтобы получить то же значение для других игр полиномиальной длины, простоA чтобы сделать это иметь входные схемы оракула играть в игру.
измените это доказательство
источник