Существует ли прямое / естественное сокращение для подсчета двойных совершенных совпадений с использованием перманента?

24

Подсчет количества совершенных совпадений в двудольном графе сразу сводится к вычислению перманента. Поскольку поиск идеального соответствия в двудольном графе есть в NP, существует некоторое сокращение от двудольных графов к перманенту, но это может привести к неприятному полиномиальному взрыву, используя приведение Кука к SAT, а затем теорему Валианта, чтобы свести к постоянны.

Эффективное и естественное сокращение от двудольного графа G до матрицы A = f ( G ), где perm ( A ) = Φ ( G ) было бы полезно для фактической реализации для подсчета идеальных совпадений с использованием существующих, сильно оптимизированных библиотеки, которые вычисляют перманент.fGA=f(G)perm(A)=Φ(G)

Обновлено: я добавил вознаграждение за ответ, включающий в себя эффективно вычисляемую функцию для переноса произвольного графа в двудольный граф H с тем же числом совершенных совпадений и не более O ( n 2 ) вершин.GHO(n2)

Деррик Стоули
источник
1
Текущий заголовок звучит как домашнее задание, но реальный вопрос гораздо интереснее. Я почти даже не открывал вопрос, потому что думал, что это домашнее задание, и скоро его закроют, пока я не увидел, что у него уже было 9 голосов, и мне стало любопытно ... Может быть, изменить название на что-то вроде: " Есть ли прямое / естественное сокращение для подсчета двойных совершенных совпадений с использованием перманента? "
Джошуа Грохов
Отличная идея. Я даже не думал об этом. Спасибо.
Деррик Столи
1
Nitpicking: «Так как поиск идеального совпадения в недвойственном графе находится в NP» → «Поскольку подсчет идеальных совпадений в недвойственном графе находится в #P»
Tsuyoshi Ito
Ваша придирка верна, и я подумал о том, чтобы написать это, но то, как я это написал, намекает на то, что сокращение применяет сокращения Кука ТОГДА Валианта. Я ищу прямое, эффективное сокращение.
Деррик Столи
7
Существует снижение, которое избегает Кука: сначала напишите формулу VNP для идеальных соответствий (я могу вспомнить одну, которая очень похожа на формулу для перманента и имеет размер ). Тогда в силу универсальности перманента это можно записать как перманент матрицы размером 4 n 4 + 1 . При этом используется тот факт, что формула размера S может быть записана как перманент матрицы размера S + 1 . Более прямой, чем проходящий через Кука, но все же не такой прямой / естественный, как метод perm считает идеальные совпадения в двудольном графе. 4N44N4+1SS+1
Джошуа Грохов

Ответы:

19

Я бы сказал, что «простое» приведение к двустороннему сопоставлению крайне маловероятно. Во-первых, это дало бы алгоритм для нахождения идеального соответствия в общем графе с использованием венгерского метода. Следовательно, сокращение должно содержать всю сложность алгоритма цветения Эдмонда. Во-вторых, это даст компактный LP для идеально подходящего многогранника, и, следовательно, сокращение не должно быть симметричным (что исключено результатом Yannakakis) и по своей природе очень сложным.

Мохит Сингх
источник
Это все веские причины, почему это вряд ли существует. Я должен был попросить опровержения в этом вопросе. Вероятно, я дам некоторую награду за этот ответ, если кто-то не докажет, что вы ошибаетесь.
Деррик Стоули
Несмотря на то, что это не тот ответ, который я хотел, я нашел этот ответ очень удовлетворительным.
Деррик Столи
@MohitSingh Не могли бы вы уточнить «несуществование венгерского метода для двудольных графов», «что содержит всю сложность алгоритма расцвета» и почему это дало бы «компактный LP для идеального соответствия и поэтому должно быть несимметричным» ?
Т ....
4

Это, очевидно, комментарий, а не ответ, но у меня пока нет никаких точек репутации, так что извините за это.

Для двудольных кубических безмостных графов существует экспоненциально много совершенных совпадений, как предположили Ловас и Пламмер в 70-х годах. Статья находится в стадии подготовки. Это может быть очень актуально для вашего вопроса, а может быть и вовсе.

Эндрю Д. Кинг
источник