Подсчет количества совершенных совпадений в двудольном графе сразу сводится к вычислению перманента. Поскольку поиск идеального соответствия в двудольном графе есть в NP, существует некоторое сокращение от двудольных графов к перманенту, но это может привести к неприятному полиномиальному взрыву, используя приведение Кука к SAT, а затем теорему Валианта, чтобы свести к постоянны.
Эффективное и естественное сокращение от двудольного графа G до матрицы A = f ( G ), где perm ( A ) = Φ ( G ) было бы полезно для фактической реализации для подсчета идеальных совпадений с использованием существующих, сильно оптимизированных библиотеки, которые вычисляют перманент.
Обновлено: я добавил вознаграждение за ответ, включающий в себя эффективно вычисляемую функцию для переноса произвольного графа в двудольный граф H с тем же числом совершенных совпадений и не более O ( n 2 ) вершин.
источник
Ответы:
Я бы сказал, что «простое» приведение к двустороннему сопоставлению крайне маловероятно. Во-первых, это дало бы алгоритм для нахождения идеального соответствия в общем графе с использованием венгерского метода. Следовательно, сокращение должно содержать всю сложность алгоритма цветения Эдмонда. Во-вторых, это даст компактный LP для идеально подходящего многогранника, и, следовательно, сокращение не должно быть симметричным (что исключено результатом Yannakakis) и по своей природе очень сложным.
источник
Это, очевидно, комментарий, а не ответ, но у меня пока нет никаких точек репутации, так что извините за это.
Для двудольных кубических безмостных графов существует экспоненциально много совершенных совпадений, как предположили Ловас и Пламмер в 70-х годах. Статья находится в стадии подготовки. Это может быть очень актуально для вашего вопроса, а может быть и вовсе.
источник