Может ли класс наследственных графов содержать почти все, но не все, n-вершинные графы?

10

Пусть наследственный класс графов. (Наследственный = замкнуто относительно взятия индуцированных подграфов.) Пусть обозначит множество -vertex графов в . Допустим, что содержит почти все графы, если доля всех вершинных графов, попадающих в приближается к 1 при .QQnnQQnQnn

Вопрос: Возможно ли, что наследственный граф класса содержит почти все графы, но для каждого найдется хотя бы один граф, которого нет в ?QnQn

Андрас Фараго
источник

Ответы:

10

Ответ будет нет - при фиксированном пусть быть число вершин в наименьшем графе не в . Теперь рассмотрим гораздо больше, чем . Для случайного графа на вершинах вероятность того, что первые вершин индуцируют зависит только от . Разбиение набора вершин на непересекающихся множеств размера и рассмотрение вероятности того, что ни один из множеств не равен показывает, что вероятность нахождения в стремится кQtHQntntHtn/ttHQ0 при n увеличивается.

Даниелло
источник
5
Это еще более убедительно доказывает, что любой нетривиальный наследственный класс содержит долю всех графов, сокращающуюся до . Путем разбиения К п на множество края непересекающихся K т «s и используя тот же аргумент , что должно быть возможно усилить это в нечто большее , как ехр - с п 2 . expcnKnKtexpcn2
Дэвид Эппштейн
@ Андрас Фараго: Отказ от ответа также может быть напрямую выведен из известных результатов гипотезы Эрдоса-Хайнала [ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Hajnal_conjecture] . Полученная оценка не так хороша (кажется, что вы получаете только долю . exp(exp(clogn))
Луи Эсперет
1
@ Дэвид Эппштейн: Я думаю, что - это именно то, что вы получаете, рекурсивно применяя ( log log n раз) следующий классический результат. Если существует проективная плоскость порядка q, то множество ребер K q 2 можно разбить на q ( q + 1 ) непересекающихся по ребрам копий K q . expcn2loglognqKq2q(q+1)Kq
Луи Эсперет,
10

Чтобы добавить ответ Даниэля, точная плотность наследственных классов была тщательно исследована в комбинаторике. Для класса структур немеченый срез C n является множеством классов изоморфизмов структур в C , имеющих n вершин. (Немеченная) скорость из класса C в структурах | C n | , Обозначим класс графов G . Вопрос в том, будет ли lim n | Q n | / | Г н | = 1CCnCnC|Cn|Glimn|Qn|/|Gn|=1для любого наследственного класса графов .Q

Поскольку предел всегда равен 0 для наследственного , фундаментальный вопрос заключается в том, как функция | Q n | сам себя ведет. Пусть p ( n ) обозначает число целочисленных разбиений , где p ( n ) = 2 Θ ( Q|Qn|p(n)p(n)=2Θ(n)|Qn||Qn|=Ω(p(n))

  • Йожеф Балог, Бела Боллобас, Майкл Сакс и Вера Т. Сос, Немаркированная скорость свойства наследственного графа , Журнал комбинаторной теории, Серия B, 99 9–19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( препринт )
Андраш Саламон
источник