Является ли константа Cheeger трудной?

Я читал во многих статьях, что определение постоянной Чигера графа является -hard. Это кажется народной теоремой, но я никогда не находил ни цитаты, ни доказательства для этого утверждения. Кому я должен отдать должное за это? В старой статье («Изопериметрические числа графов», J. Comb. Theory B, 1989) Мохар только подтверждает это утверждение «для графов с несколькими ребрами». $\mathsf{NP}$

reference-request graph-theory spectral-graph-theory Делио М.
источник

Ответы:

Я тоже сталкивался с этой проблемой, когда писал статью, в которой требовалась ссылка на твердость расширения ребер (или константу Чигера), определенную как, Классическая статья Лейтона и Рао о разделителях ( http://dl.acm.org/citation.cfm?id=331526 ) упоминает, что это трудная проблема, и ссылается на статью Гэри, Джонсона и Стокмейера ( http: / /www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397576900591 $\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ). Я не мог понять некоторое время, что они имели в виду, так как в упомянутой статье нет упоминания о расширении ребер. Я общался с Ави Вигдерсон об этом. Наконец выяснилось, что можно использовать твердость Max-Cut, как показано в статье Garey et al., Чтобы сравнительно легко показать, что расширение кромки трудно. Я забыл детали, но это не должно быть трудно воссоздать. В статье Blum et al. О твердости проверки того, является ли граф суперконцентратором, непосредственно не подразумевается твердость расширения ребер. Они технически не та же проблема.

Чандра Чекури
источник

Моя статья, в которой используется твердость при расширении кромки, приведена ниже: onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract . Мы ссылаемся на статью Лейтон-Рао и статью Гэри, Джонсона, Стокмейера о твердости расширения краев.

Чандра Чекури

Благодарность! Итак, технически говоря, трудность определения постоянной Чигера не доказана в литературе?

Делио М.

@DelioM. ссылка Кайбеля в одном из ответов Мухаммеда имеет полное доказательство. Это всего лишь сокращение Гэри-Джонсона-Стокмейера от невзвешенного максимального сокращения до минимального деления пополам, с коротким доказательством того, что на графиках, полученных в результате сокращения, самый разреженный разрез представляет собой деление пополам.

Сашо Николов

Хотя, должен признаться, я потерян. Я всегда думал, что max-cut связан с вопросом о том, «как двудольный» график. Как это может помочь найти «насколько связан» график? Эквивалентно, как второе низшее собственное значение лапласиана без знака может ограничивать второе низшее собственное значение лапласиана? Что нижняя граница очевидна, но верхняя граница?

Делио М.

@DelioM. Максимальное сокращение сначала уменьшается до минимального деления путем добавления большего числа вершин и добавления дополнения к полученному графу. Таким образом, это сокращение относится к тому, насколько близок один двудольный граф к тому, как связан другой граф (связанный с дополнением первого).

n

$n$

Сашо Николов

Фактическое доказательство твердости вычисления постоянной Чигера (или расширения ребер) было дано Кайбелем в техническом отчете путем сокращения задачи MAX Cut (см. Теорему 2). Доказательство является продолжением доказательства -трудности задачи эквикута, приведенной Гэри , Джонсоном и Стокмейером в некоторых упрощенных NP-полных задачах о графе . $NP$ $NP$

В. Кайбель: О разложении графов 0/1-многогранников. Технический отчет arXiv: math.CO/0112146, 2001

РЕДАКТИРОВАТЬ : аргумент ниже является неправильным , как указал Чекури, и оставлен для образовательных целей.

Это не ссылка, как вы просили, но она объясняет фольклорный статус результата твердости.

Вот доказательство идеи CoNP-полноты решения о том, является ли связанный кубический граф ребром-расширителем, и, следовательно, определение постоянной Чигера является CoNP-трудным. $h(G)$

Задача минимального деления пополам является полной $NP$ для связных кубических графов. Здесь мы хотим решить, можно ли разбить граф с целым числом на две части одинакового размера, так чтобы число ребер среза было меньше, чем . $G$ $k$ $k$

Обратите внимание, что дополнение к этой задаче эквивалентно решению, является ли граф расширителем или нет (каждое сбалансированное разбиение имеет срезанные ребра больше, чем ). $G$ $V$ $k$

PS Арора на этом семинаре заявляет, что трудно распознавать -expander graph (edge-extension). http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Это доказательство также не работает, потому что размер минимального деления ничего не говорит о расширении ребра. Например, несвязный граф на вершинах может иметь минимальное деление пополам .

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

Сашо Николов

Граф является связным кубическим графом, и для этого класса задача минимального деления на части является NP-полной.

G

$G$

Мухаммед Аль-Туркистани

@SashoNikolov Я никогда не видел, чтобы кто-то интересовался расширением несвязных графов.

Мухаммед Аль-Туркистани

Арора, а не Аврора. Я не сомневаюсь, что решить сложно. Но в двух ответах вы не дали ни ссылки с доказательством, ни доказательства. Отключенные графики служат только для того, чтобы показать вам, что ваши аргументы являются поддельными. Ваше "исправление" тоже не работает. Я могу легко показать вам связанный кубический граф с большим минимальным делением пополам и постоянной Чигера, произвольно близкой к нулю. Эти две проблемы связаны, но не так, как вы предлагаете.

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

Сашо Николов

@ MohammadAl-Turkistany: возьмите два связанных кубических графа без мостов, которые являются расширителями, один с 2n вершинами, а другой с n вершинами, и соедините их с тремя ребрами, добавив по 3 новых вершины с каждой стороны через деление 3 ребер. Теперь минимальное деление будет большим ( ), потому что вам нужно отрезать хороший кусок большего расширителя, но расширение небольшое, потому что вы можете разделить два расширителя, обрезав всего 3 ребра.

Ω (n)

$\Omega(n)$

Чандра Чекури