Наборы степеней для линейных графиков расширения

Линейное расширение из ч.у.м. является линейным порядком на элементах , такие , что в влечет в для всех .P P x ≤ y P x ≤ y L x , y ∈ $L$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$$x \leq y$$\mathcal{P}$$x \leq y$$L$$x,y\in\mathcal{P}$

Линейное расширение граф представляет собой график , на множестве линейных расширений посета, где две линейных расширения являются смежными , если они точно ди эр и далее в одной смежной подкачке элементов.

На следующем рисунке показан набор, известный как набор, и график его линейного расширения, где .a = 1234 , b = 2134 , c = 1243 , d = 2143 , e = $N$$a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

(Эта цифра взята с работы .)

Когда вы изучаете линейные графы расширений (LEG), вы можете придумать идею (гипотезу), что если - максимальная степень LEG, - соответственно, минимальная степень, то множество степеней любого LEG состоит из и каждое натуральное число между ними. Например, давайте возьмем poset, известный как chevron, затем в его LEG с и , а также, согласно по нашему предположению, вершины со степенями 4 и 3 содержатся в графе. Итак, вопрос в том, можем ли мы доказать или опровергнуть эту гипотезу?δ Δ , δ G Δ ( G ) = 5 δ ( G ) = $\Delta$$\delta$$\Delta,\delta$$\mathcal{G}$$\Delta(\mathcal{G})=5$$\delta(\mathcal{G})=2$

О НОГах и о том, как они выглядят, можно прочитать в диссертации Марейке Массова здесь . Шеврон и его LEG можно увидеть на странице 23 диссертации.

На множествах степеней есть классическая статья « Наборы степеней для графов » Kapoor SF et al.

Я думаю, что доказал это вчера. Таким образом, здесь идет набросок доказательства. Сначала доказывается следующая лемма.

Лемма . Пусть - частичный порядок, - его граф линейного расширения, а - две смежные вершины . Тогда . G ( P ) v 1 , v 2 G ( P ) | d e g ( v 1 ) - d e g ( v 2 ) | ≤ $\mathcal{P}$$G(\mathcal{P})$$v_1,v_2$$G(\mathcal{P})$$|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

Эскиз доказательства.

В то же время, являются линейными расширениями , так что одно из них, скажем, , может быть преобразовано в путем одной транспонирования смежных элементов (смежная транспозиция). Легко видеть (например, рассмотрим и из приведенного выше рисунка), что любой элемент любого линейного расширения может изменить количество несопоставимых смежных элементов максимум на два:P v 1 v 2 d e x i L = x 1 x 2 … x $v_1,v_2$$\mathcal{P}$$v_1$$v_2$$d$$e$$x_i$$L=x_1x_2\dots x_n$

1. Если вообще можно транспонировать, то, по крайней мере, один его сосед, скажем, , не сравним с ним ( , если сопоставим, тогда ) , Примечание: перед транспонированием у нас есть и сразу после - .x i + 1 x i ∥ x i + 1 x i ⊥ x i + 1 L 1 = … x i - 1 x i x i + 1 x i + 2 … L 2 = … x i - 1 x i + 1 x i x i + 2$x_i$$x_{i+1}$$x_i\parallel x_{i+1}$$x_i\perp x_{i+1}$$L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$$L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
2. Рассмотрим, как может измениться число несопоставимостей (степень линейного расширения как вершины в ) вСначала рассмотрим пару . Для тот же вывод следует из симметрии.L x i x i + 2 x i - 1 x i + $G(\mathcal{P})$$L$$x_ix_{i+2}$$x_{i-1}x_{i+1}$

Если , то не изменяется. Если , то увеличивается (уменьшается) на единицу. Эскиз доказательства завершен. d e g ( L ) x i + 1 ⊥ ( ∥ ) x i + 2 ∧ x i ∥ ( ⊥ ) x i + 2 д э г ( л $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$$deg(L)$$x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$$deg(L)$

Теорема . Пусть - граф линейного расширения. Если содержит вершины с , то существует такой, что .G ( P ) v 1 , v 2 d e g ( v 1 ) = k , d e g ( v 2 ) = k + 2 v 3 ∈ G ( P ) d e g ( v 3 ) = k + $G(\mathcal{P})$$G(\mathcal{P})$$v_1,v_2$$deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$$v_3\in G(\mathcal{P})$$deg(v_3)=k+1$

Эскиз доказательства.

Предположим, что смежны в , в противном случае любая вершина со степенью в смежна с некоторая вершина, если такая существует со степенью .G ( P ) k G ( P ) k + $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$$G(\mathcal{P})$$k$$G(\mathcal{P})$$k+1$

Рассмотрим случай, когда мы имеем из предыдущей леммы, так что$L_1,L_2$

$$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$$ и $$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$$

Таким образом, .$deg(L_2)=deg(L_1)+2$

Давайте теперь начнем транспонировать в направлении . Легко видеть, что в конце концов мы могли бы остановиться на позиции, где х $x_{i+1}$$x_1$

$$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$$ для некоторого . Эскиз доказательства завершен.$j<i-1$