Существует ли конечный унитарный набор затворов, который может точно реализовать все КТП порядка

Я рассматриваю идеи о точных квантовых алгоритмах. В частности, я рассматриваю вероятные ограничения , который состоит из языков, которые можно точно определить с помощью многочастотных семейств квантовых цепей в произвольном множестве конечных элементов.$\mathsf{EQP}$

Квантовое преобразование Фурье (QFT), заданное является знаменитой частью квантовой вычислительной теории. В случае хорошо известно разложение на Адамара, ворота SWAP,N = 2 n F N C Z 2 T = d i a g ( 1 , 1 , 1 , e 2 π i / 2

$$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$$ $N = 2^n$$F_N$T ⩾ $$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$$ $T \geqslant 1$ , который принадлежит Копперсмиту. Если $\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$ должен содержать какие-либо проблемы, можно надеяться, что один из них будет использовать QFT $F_{2^n}$ , и в этом случае потребуется семейство операций $F_{2^n}$ чтобы разложить в некоторый определенный конечный набор ворот. Используя рекурсивное разложение QFT, это эквивалентно разложению всех вентилей $\mathrm{CZ}_{2^n}$ в один конечный набор ворот.

Очевидно, что по теореме Соловея – Китаева мы можем сколь угодно хорошо аппроксимировать вентили или любым приблизительно универсальным набором вентилей, замкнутым относительно инверсий. Я хотел бы знать, существует ли конечное множество ворот, которое может точно реализовать эти семейства операторов, или, что я подозреваю, более вероятно, есть ли доказательство того, что такого конечного множества ворот не существует. C Z 2 $F_{2^n}$$\mathrm{CZ}_{2^n}$

Вопрос. Есть ли разложение как семейства многоуровневых схем на конечном множестве ворот или доказательство того, что это невозможно?$\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$

Нет, нет разложения всего семейства в один конечный набор ворот. Вот почему$\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

QFT содержат только коэффициенты над , комплексным алгебраическим замыканием рациональных чисел. По аналогии с [ Adleman + Demarrais + Huang – 1997 ], если бы мы включили какие-либо врата, которые включали какие-либо трансцендентные числа, мы могли бы выбрать минимальный набор трансцендентальных и описать коэффициенты гейта по существу, как рациональные функции . Чтобы получить QFT как продукт таких врат, мы должны принять меры к отмене всех трансцендентных компонентов (подобное должно происходить, чтобы гарантировать, что каждый из врат унитарен); но тогда мы могли бы также заменить все трансцендентные на {τ1,τ2,…} ¯ Q (τ1,τ2,…)$\overline{\mathbb Q}$$\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$$\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$$0$, так что все коэффициенты алгебраичны. Таким образом, мы ограничимся алгебраическими воротами без потери общности.

Коэффициенты конечного вентиля, заданного над могут содержаться в расширении конечной степени , которое можно построить, расширяя по этим самым коэффициентам. Однако ворота очевидно, имеют коэффициенты, принадлежащие расширениям полей над степени , т.е. неограниченной степени. Таким образом, семейство КТП порядка не разлагается ни в какое конечное множество ворот. QQСZ 2 п Q2п-12$\overline{\mathbb Q}$$\mathbb Q$$\mathbb Q$$\mathrm{CZ}_{2^n}$$\mathbb Q$$2^{n-1}$$2^n$

Как следствие, мы не можем надеяться на наличие каких-либо алгоритмов в которые опираются на КТП над циклическими кольцами неограниченного размера - отметим, что та же проблема возникает для любого семейства схем, которые могут использовать КТП произвольного порядка.$\mathsf{EQP}$