Известны ли эффективные общие границы в стиле Бонферрони?

Классическая проблема в теории вероятностей состоит в том, чтобы выразить вероятность события в терминах более конкретных событий. В простейшем случае можно сказать, что . Напишем для события .$P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$$AB$$A \cap B$

Тогда есть несколько способов связать , не предполагая независимости от конечного числа событий . Бонферрони дал верхнюю границу (иногда это также относится к Boole ), и Куниас уточнил это как $P[\cup A_i]$$A_i$

Структуру зависимости событий можно представить как взвешенный гиперграф с вершинами $A_i$ , где вес ребра представляет вероятность события, связанного с пересечением вершин в ребре.

Аргумент стиля включения-исключения учитывает все большее и большее подмножества событий. Это дает границы Бонферрони . Эти границы используют все веса для ребер до некоторого размера $k$ .

Если структура зависимости "достаточно хороша", то можно использовать локальную лемму Ловаша, чтобы ограничить вероятность от экстремальных значений 0 и 1. В отличие от подхода Бонферрони, в LLL используется довольно грубая информация о структуре зависимости.

Теперь предположим, что относительно немного весов в структуре зависимостей ненулевые. Кроме того, предположим, что существует много событий, которые попарно независимы, но не являются независимыми (и в более общем смысле вполне возможно, что набор из $k$ событий не является взаимно независимым, но является $r$ независимым для каждого $r < k$ ).

Можно ли явно использовать структуру зависимостей событий для улучшения границ Бонферрони / Коуниаса таким образом, который может быть эффективно вычислен?

Я ожидаю, что ответ - да, и был бы признателен за ссылки на ссылки. Мне известна статья Хантера 1976 года, но она касается только парных зависимостей. Хантер рассматривает остовные деревья в графе, образованном игнорированием ребер в структуре зависимости размера 3 или больше.

• Дэвид Хантер, верхняя граница вероятности союза , журнал прикладной вероятности 13 597–603. http://www.jstor.org/stable/3212481

Я думаю, вы найдете ответ в статье «Приблизительное включение-исключение», написанной Линиалом и Нисаном: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf.