Наименьшая логическая схема для генерации языка

10

Рассмотрим непустой язык двоичных строк длины . Я могу описать булевой схемой с входами и одним выходом, так что истинно тогда и только тогда, когда : это хорошо известно.LnLCnC(w)wL

Тем не менее, я хочу представлять с булевой схемой с выходами и определенным количеством входов, скажу , таким образом, что множество выходных значений для каждого из возможных входов точно .LCn mC2mL

Учитывая , как я могу найти такую ​​схему минимального размера, и какова сложность? Существует ли какая-либо связь между известными границами размера цепей первого рода ( ) и цепями второго рода ( ) или сложностью их нахождения?LCCC

(Заметьте, что существует некоторая двойственность в следующем смысле: учитывая , я легко могу решить, находится ли входное слово в , оценивая схему, но в общем случае NP-сложно найти какое-то слово вCwLL , найдя присваивание такое, что вывод является истинным. УчитываяC NP также трудно определить, находится ли какое-то входное словоw вL потому что я должен видеть, дает ли присваиваниеw качестве вывода, но легко найти какое-то слово вL путем оценки схемы на любом произвольном входе.)

a3nm
источник
2
Этот документ не отвечает на ваш вопрос, но изучает тип цепей, которые вы ищете eccc.hpi-web.de/report/2012/079
Маркос Виллагра
из ваших комментариев ниже кажется, что вы больше хотите рассмотреть семейство цепей, где не является конечным. думаю, ваша функция также должна быть сюръективной и вообще не может быть биективной ...L
vzn
1
Как дается ? По схеме С ? LC
Усул

Ответы:

11

Я укажу на простую связь с недетерминированными схемами и кратко прокомментирую криптографическую стойкость.

Для определите сложность изображения, обозначенную i m c ( S ) , как минимальное число вентилей в любой булевой схеме C (fanin-two, AND / OR / NOT) C : { 0 , 1 } м{ 0 , 1 } п , образ которого S . Вопрос спрашивает о сложности вычислений i m c ( S ) , учитывая представление таблицы истинности SS{0,1}nimc(S)C:{0,1}m{0,1}nSimc(S)S(строка длиной ).2n

Также определяют недетерминированную сложность схемы из , который мы будем обозначать п с гр ( S ) , как наименьшее недетерминированной цепи C ( х , у ) : { 0 , 1 } п + т '{ 0 , 1 } принимает точно S . То есть мы требуем от C, что x S тогда и только тогда, когда y : C ( xSncc(S)C(x,y):{0,1}n+m{0,1}SCxS . Это стандартное понятие, используемое для определения неоднородного класса N P / p o l y : это класс всех множеств S = { S n } n > 0 с S n{ 0 , 1 } n , такой, что n c c ( S n ) p o l y ( n ) .y:C(x,y)=1NP/polyS={Sn}n>0Sn{0,1}nncc(Sn)poly(n)

Я хотел бы отметить, что . Оба направления этого неравенства легко проверить. imc(S)=ncc(S)±O(n)

Пусть обозначает детерминированную сложность схемы. Используя Разборова-Рудича, статья, о которой упоминает Дай Ле, показывает (грубо говоря), что при определенных криптографических предположениях трудно в вычислительном отношении отличить таблицы истинности S с малым d c c ( S ) от таблиц истинности действительно случайных Sd c c ( S ) почти максимальным). Случайные S также имеют n c c ( S ) почти максимальную, и мы, конечно, имеемdcc(S)Sdcc(S)Sdcc(S)Sncc(S) . Так что ваша проблема сложна при тех же предположениях.ncc(f)dcc(f)

Что сложнее вычислить, учитывая таблицу истинности для , d c c ( S ) или n c c ( S ) ? Есть ли сокращение в любом случае? Я не знаю.Sdcc(S)ncc(S)

Энди Друкер
источник
5

Вы должны взглянуть на эту статью Кабанец и Цай. Я процитирую реферат статьи:

Мы изучаем сложность задачи минимизации схемы: учитывая таблицу истинности булевой функции и параметр s , решаем, можно ли реализовать f с помощью булевой схемы размером не более s . Мы спорим, почему эта проблема вряд ли может быть в P (или даже в P / p o l y ), приводя ряд удивительных последствий такого предположения. Мы также утверждаем, что доказательство того, что эта проблема является N P -завершенной (если это действительно так), подразумевало бы доказательство сильных схем нижних границ для класса E , что выходит за рамки известных в настоящее время методов.fsfsPP/polyNPE

Хотя схема вы упомянули, вычисляет функцию F : { 0 , 1 } mL , мы можем думать о ней как о последовательности схем C 1 , C 2 , , C n , где C i вычисляет я т ч выходной бит F . Поскольку каждый C ' i вычисляет булеву функцию { 0 , 1 } mCF:{0,1}mLC1,C2,,CnCiithFCi , минимизация цепей C i кажется сложной в соответствии с приведенным выше результатом.{0,1}m{0,1}Ci

Дай Ле
источник
Спасибо! Тем не менее, я не хочу , чтобы реализовать фиксированную функцию с моей цепи С ' : Я ОК с реализацией какой - либо функции F до тех пор , как его изображение является L . Поэтому я не пытаюсь решить их проблему реализации определенной функции f , поэтому я не думаю, что этот результат по-прежнему применим. fCfLf
a3nm
Я только что обновил свой ответ на ваш комментарий.
Дай Ле
1
Я все еще не согласен. Каждый вычисляет булеву функцию, как вы говорите, но для каждого C i все еще существует несколько возможных вариантов выбора , даже если предположить, что остальные фиксированы. Например, если L равен { 000 , 001 , 010 , 011 } , если C 2 фиксирован, у меня все еще есть несколько вариантов выбора для C 3 . Меня интересует сложность нахождения минимальной схемы, обеспечивающей некоторый согласованный выбор таких булевых функций, поэтому я не вижу приведения их проблемы к моей.CiCiL{000,001,010,011}C2C3
a3nm
1
Я добавил больше объяснений.
Дай Ле
1
@SashoNikolov Вы правы, что не должен вычислять F, о котором я упоминал. Он может вычисляет любой F , чей диапазон L . Поэтому мы не знаем, как построить C, который вычисляет f из C . Я уберу эту вводящую в заблуждение конструкцию. CFFLCfC
Дай Ле