Я пытаюсь найти график с этими свойствами для моих исследований, но, к сожалению, я не могу найти такой график.
Кто-нибудь знает, существует ли этот граф, или почему невозможно существовать?
graph-theory
graph-classes
Рафаэль Оливейра Лопес
источник
источник
Ответы:
предполагатьг является круговым графом без звездных разрезов без треугольников. Я покажу чтог не содержит вершины со степенью больше 2. Следовательно, г самое большее N кромки.
Рассмотрим круговое представлениеС из г , Набор аккордов параллелен, если нет двух из них, пересекающихся, но есть линия, пересекающая все аккорды.
Свойство 1 :С не имеет 3-х параллельных аккордов.
Доказательство . предполагатьС имеет 3 параллельных аккорда. Кондидер вершинаv соответствующий среднему аккорду. Затем,N[ v ] это срез. Это доказывает собственность.
Ради противоречия предположим,г имеет вершину v степени не менее 3. Тогда аккорд, соответствующий v пересекается с 3 другими аккордами. Поскольку эти 3 аккорда пересекают одну линию, они либо параллельны, либо два из них пересекаются. Благодаря свойству 1 два из них пересекаются, что означает, что их вершины образуют треугольник сv что противоречит г быть без треугольников.
источник
Нет, такого графа не существует. Чтобы понять, почему нет, предположим, что у нас есть круговой граф, определенный набором аккордов без треугольников. ПозволятьN быть числом вершин графа круга (или числом аккордов), и м быть числом ребер графа (пересечения двух аккордов). Тогда простая индукция по количеству аккордов показывает, что расположение аккордов имеет точном + н + 1 лица. Тем не менее, есть не более2 н лица, которые касаются круга (меньше, если некоторые лица касаются круга более одного раза), поэтому, если м > н тогда должно быть как минимум две внутренние грани расположения. Позволятьп быть кратчайшим путем в двойственном графе расположения ( квадрате ) от одного такого лица к другому, и пустьс быть любым аккордом, двойным к краю п , Тогда звездный срез, вызванныйс разделяет некоторые аккорды, ограничивающие лицо на одном конце п от некоторых аккордов, ограничивающих лицо на другом конце.
источник