Комбинаторы для примитивных рекурсивных функций

Хорошо известно, что комбинаторы S и K являются полными по Тьюрингу. Существуют ли комбинаторы, достаточные для получения (только) примитивных рекурсивных функций?

Да, но вы должны рассмотреть типизированные комбинаторы. То есть вам нужно дать и K следующие схемы типов: K : A → B → A S : ( A → B → C ) → ( A → B ) → ( A → C ), где A , B и C являются мета-переменными, которые могут быть созданы для любого конкретного типа при каждом использовании.$S$$K$

$$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$$ $A, B$$C$

Затем вы хотите добавить тип натуральных чисел к языку типов и добавить следующие комбинаторы: z : N s u c c : N → N i t e r : N → ( N → N ) → N → $\mathbb{N}$

$$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$$

Правила равенства для дополнений:

$$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$$

$$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$$ $iter$

$\mathit{iter}$

$$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$