Достаточно ли, чтобы линейные программные ограничения были выполнены в ожидании?

14

В статье « Рандомизированный анализ ранга-двойственности RANKING для сопоставления двухчастных он- лайн , доказывая, что алгоритм RANKING является -конкурентоспособным, авторы показывают, что двойственное возможно в ожидание (см. лемму 3 на стр. 5). Мой вопрос:(1-1е)

Достаточно ли, чтобы линейные программные ограничения были выполнены в ожидании?

Одно дело показать, что ожидаемое значение целевой функции - это нечто. Но если технико-экономические ограничения в ожидании удовлетворяются, нет гарантии, что они будут выполнены на данном этапе. Более того, таких ограничений много. Так, какова гарантия, что ВСЕ из них будут удовлетворены на данном пробеге?

Ариндам Пал
источник
1
Возможно, вам будет полезно прочитать краткое сообщение Клэр Матье об этом анализе. Ключевое предложение звучит так: «Это доказывает выполнимость среднего числа двойников». (Двойное решение, которое вы действительно используете и которое выполнимо, является средним из двойственных в анализе.)
Нил Янг
1
обратите внимание, что ответ на ваш вопрос в целом также положительный, в том смысле, что, если линейные ограничения удовлетворяются в ожидании, то решение, данное путем присвоения каждой переменной ее ожидаемого значения, является возможным (и имеет стоимость, равную ожидаемой стоимости). чудеса линейности ожидания;)
Сашо Николов
Спасибо Усулу, Нилу и Сашо за разъяснение этого тонкого вопроса.
Ариндам Пал

Ответы:

19

Я думаю, что трудность в том, что эта формулировка немного вводит в заблуждение; как они более четко заявили во введении (1.2), «ожидаемые значения двойственных переменных составляют выполнимое двойное решение».

Для каждой фиксированной установки двойственных переменных мы получаем некоторое первичное решение значения и двойственное решение значения . (Двойное невозможно в некоторых случаях, но это нормально.)Иксе(Икс)ее-1е(Икс)

Таким образом, ожидаемое значение простого для всех прогонов алгоритма . Но является двойственно возможным решением, поэтому существует двойственное решение со значением . Ключевой трюк в том, что является линейным по двойственным переменным : На самом деле, здесь двойственными переменными являются и , и каждое сопоставление вершины с добавляет всего к цели. Итак, и вывод следует.Е[е(Икс)]Е[Икс]ее-1е(Е[Икс])е(Икс)ИксαяβJяJ(е-1е)(αя+βJ)Е[е(Икс)]знак равное(Е[Икс])

(Как примечание стороны, я чувствую, что, поскольку этот пункт является одним из основных направлений их работы (согласно аннотации), было бы лучше, если бы они объяснили этот пункт! я, и я хотел бы узнать, когда это правда в более общем плане.)

усул
источник
2
очень хороший ответ.
Суреш Венкат