В статье « Рандомизированный анализ ранга-двойственности RANKING для сопоставления двухчастных он- лайн , доказывая, что алгоритм RANKING является -конкурентоспособным, авторы показывают, что двойственное возможно в ожидание (см. лемму 3 на стр. 5). Мой вопрос:
Достаточно ли, чтобы линейные программные ограничения были выполнены в ожидании?
Одно дело показать, что ожидаемое значение целевой функции - это нечто. Но если технико-экономические ограничения в ожидании удовлетворяются, нет гарантии, что они будут выполнены на данном этапе. Более того, таких ограничений много. Так, какова гарантия, что ВСЕ из них будут удовлетворены на данном пробеге?
Ответы:
Я думаю, что трудность в том, что эта формулировка немного вводит в заблуждение; как они более четко заявили во введении (1.2), «ожидаемые значения двойственных переменных составляют выполнимое двойное решение».
Для каждой фиксированной установки двойственных переменных мы получаем некоторое первичное решение значения и двойственное решение значения . (Двойное невозможно в некоторых случаях, но это нормально.)Икс е( Х) ее - 1е( Х)
Таким образом, ожидаемое значение простого для всех прогонов алгоритма . Но является двойственно возможным решением, поэтому существует двойственное решение со значением . Ключевой трюк в том, что является линейным по двойственным переменным : На самом деле, здесь двойственными переменными являются и , и каждое сопоставление вершины с добавляет всего к цели. Итак, и вывод следует.Е[ ф( Х) ] Е[ X] ее - 1е( E[ X] ) е( Х) Икс αя βJ я J ( е - 1е) ( αя+ βJ) Е[ ф( Х) ] = f( E[ X] )
(Как примечание стороны, я чувствую, что, поскольку этот пункт является одним из основных направлений их работы (согласно аннотации), было бы лучше, если бы они объяснили этот пункт! я, и я хотел бы узнать, когда это правда в более общем плане.)
источник