Может ли норма следа разности двух матриц плотности, подразумевающих, что эти две матрицы плотности, быть одновременно диагонализируемой?

Я считаю, что ответ на этот вопрос хорошо известен; но, к сожалению, я не знаю.

В квантовых вычислениях мы знаем, что смешанные состояния представлены матрицами плотности. А следовая норма разности двух матриц плотности характеризует различимость двух соответствующих смешанных состояний. Здесь определение нормы следа является суммой всех собственных значений матрицы плотности с дополнительным мультипликативным коэффициентом 1/2 (в соответствии со статистической разностью двух распределений). Хорошо известно, что когда разность двух матриц плотности равна единице, то соответствующие два смешанных состояния являются полностью различимыми, тогда как когда разность равна нулю, два смешанных состояния являются полностью неразличимыми.

Мой вопрос заключается в том, может ли следовая норма разности двух матриц плотности, подразумевающих, что эти две матрицы плотности могут одновременно диагонализироваться? Если это так, то проведение оптимального измерения для различения этих двух смешанных состояний будет вести себя так же, как для различения двух распределений в одной и той же области с непересекающейся поддержкой.

quantum-computing quantum-information Джереми Ян
источник

Не могли бы вы определить, что такое матрица плотности? это просто положительно определенная матрица?

Суреш Венкат

@Suresh: Матрица плотности - это эрмитова положительная полуопределенная матрица, след которой равен 1.

Цуёси Ито

Ответ на вопрос - да, потому что расстояние следа, равное 1, подразумевает, что две матрицы плотности имеют ортогональные опоры.

Цуёси Ито

@ Tsuyoshi: Может быть, вы должны написать этот комментарий в качестве ответа?

Робин Котари

@ Робин: Конечно, готово.

Цуёси Ито

Ответы:

Вот один из способов доказать, что вас интересует.

$\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_0-\rho_1$

ρ_{0} - ρ_{1} = P_{0} - P_{1}

$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

ρ_{0} - ρ_{1}

$\rho_0-\rho_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

‖ ρ_{0} - ρ_{1} ‖_{tr} = \frac{1}{2} Tr (P_{0}) + \frac{1}{2} Tr (P_{1}) .

$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$ $\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$ $\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$ $\Pi_0$ $\Pi_1$ $P_0$ $P_1$

Π_{0} (ρ_{0} - ρ_{1}) = Π_{0} (P_{0} - P_{1}) = P_{0}

$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) - Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 1.

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$

Tr (Π_{0} ρ_{0})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$

Tr (Π_{0} ρ_{1})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$

Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 0

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$

Π_{0} ρ_{0} = ρ_{0}

$\Pi_0\rho_0=\rho_0$

Π_{0} ρ_{1} = 0

$\Pi_0\rho_1=0$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

Джон Уотроус
источник

Спасибо, профессор Уотрус. На самом деле, я изучаю все эти данные по матрицам норм и плотности из ваших лекционных заметок.

Джереми Ян

Я хотел бы добавить, что все материалы, обсуждаемые в этом посте, можно найти в онлайновых заметках лектора профессора Уотурса (лекция 3): cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info

Джереми Ян

Да. Если расстояние следа двух матриц плотности равно 1, то они имеют ортогональные опоры и, следовательно, они одновременно диагонализируемы.

Цуёси Ито
источник

Я думаю, что ответ - да, но я не знаю доказательств.

Джереми Ян

Основная идея доказательства, которое устанавливает две матрицы плотности, которые полностью различимы, когда расстояние следа равно единице, заключается в диагонализации разности двух матриц плотности; но как доказать, что тот же базис диагонализирует две матрицы плотности? Возможно, эти две матрицы плотности не диагональны относительно этого базиса, но их различие есть. Может ли кто-нибудь дать какое-то доказательство или дать ссылки на это доказательство? Спасибо.

Джереми Ян