Подграф изоморфизма с деревом

15

Если у нас есть большой (направленный) граф и меньшее корневое дерево , какова наиболее известная сложность для нахождения подграфов группы изоморфных ? Мне известны результаты для изоморфизма поддеревьев, где и являются деревьями, а также где плоская или имеет ограниченную ширину дерева (и другие), но не для этого графа и случая дерева. H G H G H GGHGHGHG

Рафаэль
источник
Вы имеете в виду индуцированный подграф вместо подграфа?
Кристоффер Арнсфельт Хансен
@Kristoffer, я заинтересован в обоих. Я что-то упустил из-за неиндуцированного случая?
Рафаэль
10
Ваша проблема NP-трудна, даже если - путь, так как самая длинная (индуцированная или неиндуцированная) проблема пути - NP-сложна. H
Йота Отачи
1
Да. Меня интересует, что еще известно, что является особенным для был деревом. Например, в зависимости от свойств G, таких как те, что в вопросе, или предположения, что H является фиксированным и т. Д.HGH
Рафаэль
8
Проблема индуцированного пути является W [1] -полной (Papadimitriou-Yannakakis 1991), в то время как (неиндуцированная) проблема пути - FPT (Monien 1985). Смотрите также Chen-Flum 2007. Я также хочу знать параметризованную сложность для других классов деревьев.
Йота Отачи

Ответы:

11

Вопрос о том, является ли какой-либо фиксированный граф (индуцированным) подграфом в G, является определяемым свойством первого порядка, т. Е. Для каждого H существует формула φ H ( ψ H ) такая, что H является (индуцированным) подграфом в GHGHφHψHHG если и только если ( G ψ H ).GφHGψH

Ранее было известно, что задача проверки модели трактуется с фиксированным параметром на классах графов, которые (локально) исключают минор, и на классах (локально) ограниченного расширения . Недавно Гроэ, Кройцер и С. объявили еще более общую мета-теорему, заявив, что каждое свойство первого порядка может быть определено за почти линейное время на нигде не плотных классах графов.

Для вашего вопроса это подразумевает следующее. Пусть - фиксированное корневое дерево. Тогда за линейное время можно решить, является ли H (индуцированным) подграфом входного (направленного или ненаправленного) графа G, еслиHHG плоский, или, в более общем случае, из класса, который исключает минор, или из класса ограниченного расширения. Задача может быть решена почти за линейное время, если G принадлежит к классу, локально исключающему минор, или к классу локально ограниченного разложения или, в более общем случае, G из нигде не плотного класса графов.GGG

Себастьян Сибертц
источник
11

Это может быть решено в рандомизированном ожидаемом времени где k - размер небольшого ориентированного дерева, которое будет найдено, и mO(2km)km - количество ребер большого ориентированного графа, в котором его можно найти. См. Теорему 6.1 Алона Н., Юстера Р. и Цвика У. (1995). Цветовая кодировка. J. ACM 42 (4): 844–856 . Alon et al. также заявите, что их алгоритм может быть дерандомизирован, но не предоставьте детали для этой части; Я думаю, что детерминированное время может быть немного больше, что-то вроде .O(k!m)

Дэвид Эппштейн
источник
1
Версия с дерандомизацией должна быть как обычно, например, как описано в разделе 4, просто использовать идеальную хеш-функцию для отображения узлов в k цветах, что приводит к дополнительному log 2 n коэффициенту. (также может быть улучшен до log n factor, то есть полностью равен O ( 2 km log n ) ). nklog2nlognO(2kmlogn)
Саид
2

H к корневым деревьям. Положительные результаты, относящиеся к вашей проблеме, уже описаны в предыдущих ответах.

Раду Куртиканский
источник