Вариация расхождения с участием случайных графов

9

Предположим, у нас есть график nузлы. Мы хотели бы назначить каждому узлу либо+1 или 1, Назовите это конфигурациейσ{+1,1}n, Номер+1с, что мы должны назначить точно s (отсюда количество 1с это ns.) Учитывая конфигурацию σСмотрим на каждый узел i и суммировать значения, присвоенные его соседям, вызовите это ξi(σ), Затем мы посчитаем количество узлов, для которыхξi(σ) неотрицательно:

N(σ):=i=1n1{ξi(σ)0}.
Вопрос в том, что такое конфигурация. σ что максимизирует N(σ)? Что еще более важно, мы можем дать оценку(maxN)/nс точки зрения . Мне интересно, выглядит ли эта проблема знакомой кому-либо или ее можно свести к какой-то известной проблеме в теории графов. Если это помогает, можно считать, что граф случайный типа Эрдеша-Реньи (скажем, G (n, p) с вероятностью фронта , т.е. средняя степень растет как ). Основной инстрест в том случае, когда .s/np (logn)/nlogns/n(0,1/2)
passerby51
источник
1
Я изменил название, потому что то, что вы спрашиваете, связано с проблемами расхождения в пространствах диапазона. Однако это НЕ связано с расхождением в графиках (что больше касается отклонений краевой плотности)
Суреш Венкат
2
простая граница: произвольно взять ; , где - степень вершины а - некоторая постоянная. Итак, . Если, скажем, и граф является -регулярным, то существует такая , что . σPr[ξi(σ)<0]exp(Cδi(s/n1/2)2)δiiCE[N(σ)]i1exp(Cδi(s/n1/2)2)s=3n/4(16/C)lognσN(σ)nO(1)
Сашо Николов
@ Суреш: Спасибо. Это то, что мне нравится спрашивать у компьютерных ученых, вы узнаете что-то новое! Так, где хорошее место, чтобы узнать о проблемах несоответствия в пространстве диапазона? (Может быть, краткая краткая газета?)
passerby51
1
@Sasho: Спасибо. По какой-то причине я не могу видеть уравнения должным образом (они столкнулись с окружающим текстом.) Я постараюсь прочитать его и вернуться к вам. Но я должен упомянуть, что интересный для меня режим - это и проблема, похоже, усложняется, когда приближается к . (Это связано с рассмотрением симметрии в исходной задаче, из которой это произошло.) Я не думаю, что рассмотрение случайной сделало бы это для . s/n(0,1/2)s/n1/2σs/n(0,1/2)
passerby51
Предположение / надежда состоит в том, что для, скажем, G (n, p) с или . Я только что понял опечатку в моем первоначальном посте относительно . Прости за это. Средняя степень растет, так как не . (maxN)/n=o(1)p (logn)/np (logn)1+ϵ/nplognp
passerby51

Ответы:

8

Вы можете подойти к этому с помощью метода «второго момента», аналогичного тому, который я использовал в «Остром пороге» для задачи удовлетворения случайных ограничений , Discrete Matmatics 285 / 1-3 (2004), 301-305.

Когда средняя степень растет как достаточно большие постоянные времена , такого подхода часто бывает достаточно, чтобы точно найти порог выполнимости. Это может также показать часть предложений, которые могут быть выполнены в неудовлетворительном случае, хотя я не исследовал это.logn

Чтобы ваша проблема выглядела как моя общая проблема, вы можете рассматривать ее как «MAX-AT-LEAST-HALF-SAT» со специальной графической структурой, лежащей в основе предложений в формуле CNF. Однако я не думаю, что эта специальная структура поможет в анализе наихудшего случая, и поскольку размер вашего предложения неоднороден, а ваш «плохой» набор назначений растет, вам придется пройти расчет и посмотреть, будет ли он еще работает.

Авраам Д Flaxman
источник
смотреть на это как на CSP кажется действительно более подходящим, чем смотреть на это как на проблему несоответствия
Сашо Николов
Спасибо. Это выглядит очень интересно. Я буду смотреть в него.
passerby51
3

Позвольте мне уточнить мой комментарий. Во-первых, это похоже на расхождение, но, конечно, отличается по нескольким причинам. Для системы из множеств несоответствие системы равно . Обозначим, Ваше определение отличается тем, что вы хотите узнать, сколько наборов является положительным, и расхождение спрашивает, насколько велика величина в худшем случае. Для быстрого вступления, возможно, могут помочь мои заметки писца . У Шазель есть хорошая книга , в которой много деталей.mS1,,Sm{1,n}=[n]minσ:[n]{±1}maxj|iSjσ(i)|σ(Sj)=|iSjσ(i)|σ(Sj)σ(Sj)

Для легкой вероятностной нижней границы, когда , как в моем комментарии, учитывая граф с последовательностью степеней , вы можете равномерно выбрать случайным образом из всех последовательностей с ( не являются независимыми, но в этом случае также должна быть возможность доказать границу Чернова). У нас есть и, по черновой границе, для некоторой константы . Так что . Так что существует какая-тоs>n/2G=([n],E)δ1,,δnσs 1σiE[ξi(σ)]=δis/nPr[ξi(σ)<0]exp(Cδi(s/n1/2)2)CE[N(σ)]niexp(Cδi(s/n1/2)2)σ это достигает этой границы.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Кажется, что вы заинтересованы в случае . Давайте случайным образом выберем же, как и в предыдущем абзаце. Используя версию центральной предельной теоремы для выборки без замены ( - выборка размера без замены из вершин графа), вы должны показать, что ведет себя как гауссиан со средним и дисперсия относительно , поэтому для некоторых C и параметр ошибки из центральной предельной теоремы. Мы должны иметьs<n/2σσsξi(σ)δi(2s/n1)δiPr[ξi(σ)0]=exp(Cδi(2s/n1)2)±η(n)η(n)nη(n)=o(n), так что вы можете взять .N(σ)iexp(Cδi(2s/n1)2)o(n)

Отказ от ответственности: это имеет смысл, только если постоянны / малы или очень близко к . Также вычисления несколько эвристичны и не очень тщательно выполнены.δis/nn/2

Сашо Николов
источник
Спасибо за хорошие ссылки и аргумент. Мне нравится вероятностный аргумент, но я думаю, что с вашей границей что-то не так. Вы можете увидеть это, установив , для которого мы должны иметь . Похоже, это то, что пошло не так: если вы случайным образом выбираете из набора, указанного в задаче, у каждого есть . быть и вероят. из бытия . Следовательно, который отрицателен для ...s=0Pr[ξi(σ)<0]=1σσjγ:=s/n+11γ1E[ξi(σ)]=(2γ1)δiγ(0,1/2)
passerby51
не будет независимым и , строго говоря , мы не можем использовать сказать неравенство Хёфдинга. Но давайте проигнорируем эту незначительную деталь и предположим, что они были тогда. будет что верно для . Мы не можем установить чтобы получить . {σj}Pr[1δiξi(σ)<t+2γ1)exp(δit2/2)t0t=2γ1<0Pr[ξi(σ)<0]
passerby51
извините, я должен был указать это: предположение здесь было, что . в противном случае это не имеет смысла, и вам нужно что-то более сильное, например, Берри-Эссеен. я думаю, что можно считать по существу независимымs>n/2σj
Сашо Николов
@ passerby51 добавил набросок того, как вы можете попытаться использовать количественную версию центральной предельной теоремы, чтобы расширить вероятностную оценку до . s/n<1/2
Сашо Николов