Предположим, у нас есть график узлы. Мы хотели бы назначить каждому узлу либо или , Назовите это конфигурацией, Номерс, что мы должны назначить точно (отсюда количество с это .) Учитывая конфигурацию Смотрим на каждый узел и суммировать значения, присвоенные его соседям, вызовите это , Затем мы посчитаем количество узлов, для которых неотрицательно:
Вопрос в том, что такое конфигурация. что максимизирует ? Что еще более важно, мы можем дать оценкус точки зрения . Мне интересно, выглядит ли эта проблема знакомой кому-либо или ее можно свести к какой-то известной проблеме в теории графов. Если это помогает, можно считать, что граф случайный типа Эрдеша-Реньи (скажем, G (n, p) с вероятностью фронта , т.е. средняя степень растет как ). Основной инстрест в том случае, когда .
graph-theory
co.combinatorics
optimization
passerby51
источник
источник
Ответы:
Вы можете подойти к этому с помощью метода «второго момента», аналогичного тому, который я использовал в «Остром пороге» для задачи удовлетворения случайных ограничений , Discrete Matmatics 285 / 1-3 (2004), 301-305.
Когда средняя степень растет как достаточно большие постоянные времена , такого подхода часто бывает достаточно, чтобы точно найти порог выполнимости. Это может также показать часть предложений, которые могут быть выполнены в неудовлетворительном случае, хотя я не исследовал это.logn
Чтобы ваша проблема выглядела как моя общая проблема, вы можете рассматривать ее как «MAX-AT-LEAST-HALF-SAT» со специальной графической структурой, лежащей в основе предложений в формуле CNF. Однако я не думаю, что эта специальная структура поможет в анализе наихудшего случая, и поскольку размер вашего предложения неоднороден, а ваш «плохой» набор назначений растет, вам придется пройти расчет и посмотреть, будет ли он еще работает.
источник
Позвольте мне уточнить мой комментарий. Во-первых, это похоже на расхождение, но, конечно, отличается по нескольким причинам. Для системы из множеств несоответствие системы равно . Обозначим, Ваше определение отличается тем, что вы хотите узнать, сколько наборов является положительным, и расхождение спрашивает, насколько велика величина в худшем случае. Для быстрого вступления, возможно, могут помочь мои заметки писца . У Шазель есть хорошая книга , в которой много деталей.m S1,…,Sm⊆{1,…n}=[n] minσ:[n]→{±1}maxj|∑i∈Sjσ(i)| σ(Sj)=|∑i∈Sjσ(i)| σ(Sj) σ(Sj)
Для легкой вероятностной нижней границы, когда , как в моем комментарии, учитывая граф с последовательностью степеней , вы можете равномерно выбрать случайным образом из всех последовательностей с ( не являются независимыми, но в этом случае также должна быть возможность доказать границу Чернова). У нас есть и, по черновой границе, для некоторой константы . Так что . Так что существует какая-тоs>n/2 G=([n],E) δ1,…,δn σ s 1 σi E[ξi(σ)]=δis/n Pr[ξi(σ)<0]≤exp(−Cδi(s/n−1/2)2) C E[N(σ)]≥n−∑iexp(−Cδi(s/n−1/2)2) σ это достигает этой границы.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Кажется, что вы заинтересованы в случае . Давайте случайным образом выберем же, как и в предыдущем абзаце. Используя версию центральной предельной теоремы для выборки без замены ( - выборка размера без замены из вершин графа), вы должны показать, что ведет себя как гауссиан со средним и дисперсия относительно , поэтому для некоторых C и параметр ошибки из центральной предельной теоремы. Мы должны иметьs<n/2 σ σ s ξi(σ) δi(2s/n−1) δi Pr[ξi(σ)≥0]=exp(−Cδi(2s/n−1)2)±η(n) η(n) nη(n)=o(n) , так что вы можете взять .N(σ)≥∑iexp(−Cδi(2s/n−1)2)−o(n)
Отказ от ответственности: это имеет смысл, только если постоянны / малы или очень близко к . Также вычисления несколько эвристичны и не очень тщательно выполнены.δi s/n n/2
источник