Универсальные комплекты ворот для СУ (3)?

23

В квантовых вычислениях нас часто интересуют случаи, когда группа специальных унитарных операторов G для некоторой d-мерной системы дает либо целую группу SU (d) в точности, либо даже просто приближение, обеспечиваемое плотным покрытием SU (d).

Группа конечного порядка, такая как группа Клиффорда для d-мерной системы C (d), не даст плотного покрытия. Группа бесконечного порядка не даст плотного покрытия, если группа абелева. Тем не менее, моя грубая интуиция заключается в том, что бесконечного числа гейтов и операций по смене баз в группе Клиффорда должно быть достаточно, чтобы обеспечить плотное покрытие.

Формально мой вопрос:

У меня есть группа G, которая является подгруппой SU (d). G имеет бесконечный порядок и C (d) является подгруппой в G. Все ли такие G обеспечивают плотное покрытие SU (d).

Обратите внимание, что меня особенно интересует случай, когда d> 2.


Я полагаю, что группа Клиффорда определена здесь: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007


источник
Можете ли вы сформулировать математическое определение группы Клиффорда? Мне было трудно извлечь из бумаги, не читая ее подробно
Ванесса
N2GU(N)XCNZ=diag(1,ω,ω2,,ωN1)ω=exp(2πi/N)Y=eπi(N1)(N+1)/NZXYN>2N=2X,Y,ZU(N)который сохраняет при сопряжении. G
Ниль де Бёдрап,

Ответы:

10

Это не полный ответ, но, возможно, он каким-то образом отвечает на вопрос.

Поскольку имеет бесконечный порядок, а - нет, то обязательно содержит не-клиффордские групповые ворота. Однако имеет в качестве подгруппы. Но для группа Клиффорда плюс любые другие ворота, не входящие в группу Клиффорда, приблизительно универсальны (см., Например, теорему 1 здесь ). Поэтому все такие обеспечивают плотное покрытие на .GC(d)GGC(d)d=2GSU(2n)

Для случая, когда кажется, что можно доказать, что вы все еще получаете плотное покрытие по следующим линиям (используя обозначения статьи, на которую ссылается вопрос):d>2

  1. Поскольку все вентили в являются унитарными, все их собственные значения являются корнями из единицы, которые для простоты я буду параметризировать реальными углами 0 θ i < 2 π .G0θi<2π
  2. Поскольку имеет бесконечный порядок, либо G содержит вентили, для которых хотя бы одно значение θ k является иррациональным кратным π, либо содержит сколь угодно хорошее приближение к такому иррациональному кратному π . Обозначим один из таких ворот g .GGθkππg
  3. Тогда существует такое , что g n сколь угодно близко, но не равно единице.ngn
  4. Поскольку унитарное, его можно записать как exp ( - i H ) .gnexp(iH)
  5. Поскольку группа Паули, как определено в Quant-Ph / 9802007, образует основу для матриц , можно написать H = d - 1 j , k = 0 α j k X j d Z k d , где α j kС и | α j k | ϵ для любого ϵ > 0 (по [3]) хотя бы с одним таким a a bd×dH=j,k=0d1αjkXdjZdkαjkC|αjk|ϵϵ>0αab не равно нулю.
  6. Затем мы можем выбрать элемент из группы Клиффорда, который отображает X j d Z k d в Z d при сопряжении. Таким образом, C g n C = exp ( - i C H C ) = exp ( - i ( α a b Z d + ( j , k ) ( a , b ) α CXdjZdkZd, гдеα- просто перестановкаαиαab=α01 .CgnC=exp(iCHC)=exp(i(αabZd+(j,k)(a,b)αjkXdjZdk))αααab=α01
  7. Отметим, что удовлетворяет Z d ( X u d Z v d ) = ω u ( X u d Z v d ) Z d . Определим г = Z - д С г н C Z г = ехр ( - я ( α в б Z д + Е ( JZdZd(XduZdv)=ωu(XduZdv)Zd.g=ZdCgnCZd=exp(i(αabZd+(j,k)(a,b)ωjαjkXdjZdk))
  8. По теореме Бейкера-Камбеля-Хаусдорфа, поскольку все были сделаны сколь угодно близко к тождеству, мы можем оценить произведение g = g 1 × . , , × g d в первом порядке как exp ( - i ( d × ( k α 0 k Z k ) + ( d = 1 ω d ) × j 0k ααg=g1×...×gd. Суммирование по всем маршрутам единицы, дляd>1дает g =exp(-i(d×(k b α 0 k Z k )). Это в основном последовательность развязки, которая разъединяет недиагональные элементы.exp(i(d×(kα0kZk)+(=1dωd)×j0kαjkXdjZdk))d>1g=exp(i(d×(kbα0kZk))
  9. Поскольку в экспоненте остаются только диагональные матрицы, должна быть диагональной. Кроме того, из-за ограничений на α он обязательно имеет собственные значения, которые не равны нулю, но пропорциональны ϵ .gαϵ
  10. Изменяя и повторяя описанный выше процесс, можно создать d линейно независимых вентилей: g 1 . , , g d , такое, что их произведение приводит к диагональным вентилям с иррациональными и несоразмерными фазами или к сколь угодно близкому приближению к единице.ϵdg1...gd
  11. По ссылке, приведенной в ответе Марка Ховарда, этого вместе с группой Клиффорда должно хватить для приблизительной универсальности.
Джо Фитцсимонс
источник
Почему это не завершено? Если вы укажете детали в своих расплывчатых шагах (особенно шаг 10), похоже, это может сработать.
Питер Шор
@PeterShor: Именно по этой причине: я не продумал все шаги. Я думаю, что это должно работать, но я признаю, что это не строгое. Я посмотрю, смогу ли я изложить 10
Джо Фицсимонс
Ницца. Это похоже на хороший подход.
Я даю награду за этот ответ, потому что я думаю, что есть вероятность, что доказательства в этом направлении ответят на вопрос. Другие ответы также очень полезны.
Питер Шор
@PeterShor: Спасибо! Я чувствовал себя немного виноватым, что мой первый ответ был неправильным.
Джо Фицсимонс
13

Я верю, что ответ на оригинальный вопрос, вероятно, да, но, к сожалению, я не могу сказать это окончательно. Однако я могу помочь ответить на расширенный вопрос Питера.

В математике / 0001038 Небе, Рейнсом и Слоаном они показывают, что группа Клиффорда является максимальной конечной подгруппой в U (2 ^ n). Соловей также показал это в неопубликованной работе, в которой «по существу используется классификация конечных простых групп». Небе и соавт. В статье также показано, что группа Клиффорда, являющаяся qudit, является максимальной конечной подгруппой для простого числа p, также используя классификацию конечных групп. Это означает, что группа Клиффорда плюс любые ворота - это бесконечная группа, что делает избыточным одно из предположений исходного вопроса.

Теперь и Рейнс, и Соловей сказали мне, что следующий шаг, показывающий, что бесконечная группа, содержащая группу Клиффорда, универсальна, является относительно простым. Однако я не знаю, как на самом деле работает этот шаг. И что более важно для исходного вопроса, я не знаю, рассматривали ли они только случай кубита или также случай квитита.

На самом деле, я могу добавить, что я тоже не понимаю доказательств Небе, Дождей и Слоана, но хотел бы.


источник
9

Мне не ясно, спрашиваете ли вы о том, что SU (3) или SU (3 n ) действуют на тензорное произведение квиттов. Я предполагаю, что вы спрашиваете о SU (3). Мне не ясно (несмотря на то, что я сказал в предыдущей версии моего ответа), что утверждение для SU (3) подразумевает утверждение для SU (3 n ).nn

Пока набор вентилей не лежит в подгруппе SU (3), он будет создавать плотное покрытие SU (3). Поэтому вам необходимо проверить, содержит ли любая из бесконечных подгрупп в SU (3) группу Клиффорда. Я уверен, что нет, но не могу сказать наверняка. Вот математический вопрос о переполнении, задающий все подгруппы Ли группы SU (3).

Питер Шор
источник
В третьем последнем предложении вопроса я зачитал, что группа Клиффорда была подгруппой конкретной группы которую рассматривает Эрл. Отсюда мой ответ ниже, но, возможно, я что-то неправильно понял или неправильно понял. G
Джо Фитцсимонс
Трудность с вашим ответом состоит в том, что ваша ссылка, кажется, говорит только о SU (2), в то время как ОП спрашивает о SU (3) и аналогичной группе с группой Клиффорда в SU (3) (а также о результатах измерения ). Ваша ссылка отвечает на его вопрос для d = 2 . Нам нужно, чтобы теорема из вашей ссылки также выполнялась в SU (3); а именно, что нет подгрупп, содержащих SU (3) группу Клиффорда. d>3d=2
Питер Шор
Ах я вижу. Я удалю свой ответ. Из контекста связанных с ним заметок звучало похоже на теорему, примененную в произвольных измерениях, а не только в случае, когда . Тем не менее, при поиске источника, который, кажется, не так. Спасибо за указание на ошибку. d=2
Джо Фицсимонс
В конечном итоге меня заинтересует . Однако, поскольку это связано с универсальностью в S U ( 3 ) + группа Клиффорда, я сформулировал вопрос так, чтобы он был простым. Я также быстро взглянул на предоставленную Джо ссылку и смог увидеть результаты только для d = 2 . SU(3n)SU(3)d=2
Кроме того, я последую совету Петерса и проверю подгруппы Ли в справочнике по математическому переполнению, хотя мне может потребоваться некоторое время, чтобы пройти через все это!
9

Я думал, что я должен обновить эту тему, прежде чем сайт навсегда заморожен.

Ответ Даниэля на правильных линиях. Этот «следующий шаг», который он упоминает, появляется в более поздней книге Небе, Рейнса и Слоана « Самодвойственные коды и теория инвариантов ».

Поэтому ответ на этот вопрос «Да» - и это следует непосредственно из следствия 6.8.2 в книге Небе, Рейнса и Слоана.

Я благодарен Вадиму Ключникову, который указал мне на это, когда я посещал Ватерлоо.

Дэн Браун
источник
Я должен уточнить, что «Да» является прямым ответом на формальный вопрос Эрла выше, и это показано в следствии 6.8.2 в книге.
Дэн Браун
5

Я думаю, что следующая статья может содержать соответствующие конструкции для доказательства универсальности Qudit

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

В частности, комментарий в конце раздела говорит, что управляемая фаза C Z , преобразование Фурье F и диагональный вентиль D с иррациональной и несоразмерной фазами дают приблизительную универсальность. (Это достаточное условие для D, но я почти уверен, что это необязательное условие.)4CZFDD

Если ваш имеет правильную форму (и диагональные ворота кажутся естественным выбором), то результат применяетсяG

Альтернативным подходом было бы создание вспомогательных состояний, необходимых для реализации Quitit Toffoli, или непосредственное использование вместе с Cliffords для реализации Toffoli. Трудно сказать , возможно ли это , не зная больше о G .GG


источник
Добро пожаловать на сайт, Марк!
Джо Фицсимонс
π