Квантовые вычисления - постулаты QM

Я только начал (независимое) изучение квантовых вычислений в целом из книги Нильсена-Чуанга.

Я хотел спросить, может ли кто-нибудь попытаться найти время, чтобы помочь мне с тем, что происходит с постулатом измерения квантовой механики. Я имею в виду, я не пытаюсь поставить под сомнение постулат; Просто я не понимаю, как значение состояния системы после измерения достигает $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ .

Несмотря на то, что постулат, кажется, говорит только что, мне действительно неловко, почему это выражение. Я не знаю, имеет ли смысл то, что я спрашиваю здесь, но это оказывается чем-то, что по некоторым причинам, кажется, мешает мне читать дальше,

Я не знаю, если это «объяснение», но, надеюсь, это полезное «описание».

В более общем смысле, чем проективные измерения, всегда измеряется оператор . (Проектор является частным случаем этого.) Так что же значит «измерить оператора»?

Ну, операторы часто соответствуют «наблюдаемым» физическим величинам. Например, наиболее важной в квантовой механике является энергия; но можно также (иногда косвенно) измерять другие величины, такие как угловой момент, z -компоненты магнитных полей и т. д. То, что измеряется, всегда дает действительные результаты - в принципе, некоторый определенный результат (например, электрон в состоянии «спина +1/2» в отличие от «спина -1/2» или на первом уровне возбужденной энергии в отличие от основного состояния в атоме водорода и т. д.), хотя каждый априори возможный результат реализуется с некоторой вероятностью.

Мы присваиваем каждому из вещественных результатов измерения подпространство. То, как мы это делаем, - это описание эрмитова оператора, т. Е. Оператора, который связывает действительное собственное значение с различными подпространствами, причем подпространства суммируются во всем гильбертовом пространстве. Проектор - это такой оператор, где реальные значения равны 0 и 1; т. е. описание того, что вектор принадлежит указанному подпространству (дает значение 1) или его ортодополнению (дает значение 0). Эти эрмитовы операторы являются наблюдаемыми , а собственные пространства - это те, для которых наблюдаемая имеет «определенное» значение.

Но как насчет тех векторов, которые не являются собственными векторами и не имеют «определенных» значений для этих наблюдаемых? Вот не объясняющая часть описания: мы спроецируем их в одно из собственных пространств, чтобы получить собственный вектор с четко определенным значением. Какую проекцию мы применяем, определяется случайным образом. Распределение вероятностей определяется знакомым правилом Борна:

$$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$$

где - проектор на c-собственное пространство «наблюдаемой величины» E (представленной эрмитовым оператором ). Пост-измеренное состояние является некоторая проекция состояния на некотором собственном пространстве наблюдаемой A . И так, если - состояние предварительного измерения, - это состояние после измерения, а - это измеренный «фактический результат» ( т. е. собственное пространство, на которое фактически было спроецировано состояние предварительного измерения), у нас есть результат пропорциональности$\Pi_c$$A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$$|\psi\rangle$$| \psi_0 \rangle$$| \psi_1 \rangle$$\Pi_c$

$$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$$

по описанному правилу проекции. Вот почему в вашей формуле есть проектор.

В общем, вектор не является единичным вектором; поскольку мы хотим описать состояние после измерения другим единичным вектором, мы должны изменить его$| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

$$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$$

который является квадратным корнем из вероятности, с которой результат произойдет априори . Итак, мы восстановим формулу в вашем вопросе,

$$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$$

(Если эта формула кажется немного неуклюжей, имейте в виду, что она выглядит и чувствует себя немного лучше, если вы представляете квантовые состояния операторами плотности.)

Отредактировано, чтобы добавить: вышеупомянутое не должно быть истолковано как описание POVM. А «положительный оператор оценивается измерение» лучше рассматривать как описывающие ожидаемое значение различных измеримый наблюдаемые Е _с в коллекции {  E _с  } _{с  ∈ C}  .

Я предложу еще один ответ на вопрос Акаша Кумара, который заключается в том, что (особенно для студентов) хороший способ разобраться с тайнами квантовой механики - это сначала разобраться с тайнами классической механики.

В связи с этим, рекомендуемым начальным учебником (который доступен в мягкой обложке) является «Симметрия в механике: нежное современное введение» Стефани Фрэнк Сингер ... которая имеет преимущество в том, что она короткая и ясная (включая 120 задач, проработанных явно), и все же она уверенно охватывает основные современные идеи симплектической геометрии и теории групп Ли.

Здесь дело в том, что в начале 20-го века квантовая механика и классическая механика казались двумя совершенно разными теориями динамики. Но если мы серьезно относимся к принципу Владимира Арнольда о том, что «гамильтонова механика - это геометрия в фазовом пространстве; фазовое пространство имеет структуру симплектического многообразия», то мы серьезно относимся и к принципу Аштекара / Шиллинга, что «линейная структура, которая находится на переднем крае в Изучение квантовой механики в учебниках - это, в первую очередь, лишь техническое удобство, а основные компоненты - многообразие состояний, симплектическая структура и риманова метрика - не разделяют эту линейность », тогда мы придем к лучшему понимание того, что тезис Троя Шиллинга 1996 года опирается на прочную математическую основу, утверждая, что "

Этот унифицированный геометрический подход к классической / квантовой динамике в основном успешен благодаря тому, что классическая механика кажется более загадочной, а квантовая механика кажется менее загадочной ... и студентам полезно знать, что это один (из многих) жизнеспособных подходов к изучению обоих видов механика.

Если вы их еще не видели, я настоятельно рекомендую записки Скотта Ааронсона «Квантовые вычисления с Демокритом» , особенно лекцию 9 . Они действительно помогли мне как неспециалисту, и я попытался донести его презентацию до основных моментов здесь и здесь .

Что касается вашего конкретного запроса, я думаю, что это поможет создать интуицию, если вы сможете рассчитать несколько простых примеров, используя правило Борна, и посмотреть, как работает постулат измерения на практике.

Мне показалось, что проще всего думать о том, что «вероятность измерения i-го результата - это квадрат амплитуды i-го элемента вектора состояния - если вы изменяете базис на собственные векторы оператора».

Это также тесно связано с интуицией о том, что квантовая механика является вероятностью с комплексными числами - поскольку квадраты амплитуд должны суммироваться до 1.

Пока вы изучаете квантовые вычисления, вы также можете проверить это обсуждение алгоритма Шора .

Добавление.

После повторного рассмотрения формы вашего вопроса ( например, M ^† M в знаменателе - в отличие, например, от одного оператора M, который достаточен для проекторов) и пересмотра моей копии Нильсена и Чаунга, вот некоторые дополнительные детали не охвачен моим предыдущим ответом. (Я публикую это как отдельный ответ из-за длины, и потому что я чувствую, что это даже менее «объяснение», чем мой предыдущий ответ.)

Предположим , что наши единственным средством измерения кубита X является косвенным: с помощью «слабого» взаимодействия с Ancilla А , с последующим измерением на A . Мы хотели бы быть в состоянии говорить о них как в некотором смысле способ измерения X . Как мы можем описать такое измерение в терминах только X ? Хорошо: предположим, что мы можем легко подготовить A в начальном состоянии и выполнить управляемый унитар следующего вида, с X в качестве элемента управления и A в качестве цели:$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

$$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$$

Затем мы измеряем A в стандартном базисе (так что теперь A сохраняет результат измерения). Это преобразует состояние X следующим образом:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

В приведенных выше уравнениях обратите внимание, что если результатом измерения является c , конечное состояние из X пропорционально , где мы определяем$|\psi_1\rangle$$|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

$$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$$

и мы можем проверить, что вероятности, с которыми мы получаем результаты измерений, в каждом случае .$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

Это очень близко к описанию преобразования X так же, как мы описываем проективные измерения. Но является ли это каким-либо измерением, если говорить осмысленно? Хорошо: если мы можем сделать статистику по результатам нескольких итераций этой процедуры, и если X изначально находится в стандартном базисе, мы заметили бы, что есть смещение в том, что мы получаем результат '0': мы получаем его чаще когда X изначально находится в состоянии . Если мы можем произвести выборку достаточное количество раз, чтобы различить, распределяются ли результаты измерений больше как или , мы можем с высокой вероятностью определить, находится ли кубит изначально в состоянии$|1\rangle$$(\frac12,\frac12)$$(\frac34,\frac14)$$|0\rangle$ или состояние .$|1\rangle$

Сходство формул вероятностей и обновлений с формулами проективного измерения и тот факт, что мы можем использовать статистику измерений для получения информации об измеренном состоянии, мотивирует обобщение понятия «измерение» и включает в себя такие процедуры, как выше: мы можем описать возможные результаты измерений одним, двумя или более операторами (которые на самом деле являются «операторами Крауса», объектами, связанными с картами CPTP), причем результаты описываются слегка обобщенным правилом Борна$M_c$

$$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$$

где - оператор Крауса, связанный с вашим измерением и с правилом обновления, заданным$M_c$

$$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$$

Для того , чтобы вероятности быть сохранены (так что с уверенностью по крайней мере , один из результатов измерений происходит), мы требуем . Это более общая форма вашего вопроса, описанная Нильсеном и Чангом. (Опять же, это выглядит немного лучше при описании состояний операторами плотности.)$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Основные пометки.

В общем, всякий раз, когда мы вводим вспомогательную (или совокупность вспомогательных) A , взаимодействуем кубитом (или регистром нескольких кубитов) X унитарно с A , а затем выполняем проективное измерение на A , это приводит к своего рода измерению из X ; операторы измерения могут быть описаны некоторой совокупностью положительно-полуопределенных операторов таких что (опять же, чтобы вероятность сохранялась).$M_c$$\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

Более общие, более слабые измерения, описанные здесь, более тесно связаны с POVM, которые позволяют вам легко описывать вероятности измерения «абстрактно», без явного выбора преобразований , предоставляя операторы и позволяя вам использовать они в правиле Борна для вычисления вероятностей. Как я упоминал выше и в моем предыдущем ответе, POVM можно рассматривать как описание статистически доступной информации о системе.$M_c$$E_c = M_c^\dagger M_c$

Мышление измерений в терминах операторов Крауса (и в терминах «регистра результатов измерений» A, как указано выше) таким образом позволяет вам включить понятие измерения в понятие карты CPTP, и эта идея мне нравится. (Тем не менее, это не меняет ситуацию с аналитической точки зрения, и вам не о чем беспокоиться, если вы еще не знакомы с картами CPTP).

Ответ Niel de Beaudrap относительно операторов Kraus был очень хорошим. Что касается учебника Нильсена и Чуанга, это означает, что следует прочитать главу 2, затем главу 8, а затем промежуточные главы.

Кроме того, представление оператора Крауса имеет бесконечно малый предел, называемый оператором Линдбладиана; В общем, операторы Линдбладиана для операторов Крауса являются алгеброй Ли для группы Ли. Онлайновые заметки Карлтон Кейвз «Полностью положительные карты, положительные карты и форма Линдблада» охватывают большую часть этого материала.

Преимущество работы исключительно с бесконечно малыми операторами Линдбладиана вместо операторов Крауса состоит в том, что линдбладианы естественным образом возвращаются в негильбертовы квантовые пространства состояний; они включают пространства состояний тензорной сети, которые становятся повсеместными в квантовой химии и физике конденсированных сред; Более того, методы откатов также распространены в теории струн.

В настоящее время не существует учебника, который бы развивал это геометрическое, не Гильбертово описание квантовой динамики ... но так и должно быть! Учебниками, которые (с указанными выше ссылками) в совокупном покрытии охватывают основные идеи, являются Джон Ли "Гладкие многообразия", Френкель и Смит "Понимание молекулярного моделирования: от алгоритмов к приложениям", а также Клоден и Платен "Численное решение стохастических дифференциальных уравнений".

Это правда, что это много чтения ... и именно поэтому геометрическая квантовая динамика не преподается на уровне бакалавриата. Это очень жаль, потому что магистрантам слишком легко приобрести фиксированное представление о том, что пространство состояний квантовых динамических систем является линейным векторным пространством, даже если это не так в большинстве крупномасштабных практических расчетов.

Что касается пространства состояний, которое использует Природа: никто не знает - экспериментальные доказательства локальной (касательной) квантовой линейности достаточно сильны, но доказательства глобальной (гильбертовой) квантовой линейности довольно слабы. В частности, высокоточные квантово-динамические эксперименты на молекулярном пучке, которые многие учебники приводят в качестве доказательства квантовой линейности, могут быть смоделированы с требуемой относительной точностью ~ 1/2 ^ {65} в пространствах состояний тензорной сети низкой размерности, с почти совершенной динамической симплектичностью, заменяющей почти совершенную динамическую линейность.

По указанным выше причинам, возможно, студенты 21-го века не должны принимать учебники 20-го века полностью за чистую монету. Но действительно, какой студент 21-ого столетия хотел бы это любым другим способом?

Выше изложено, как инженеры квантовых систем стали использовать математический набор инструментов, который сочетает в себе геометрическую и алгебраическую естественность и применим в целом к ​​классическим, квантовым и гибридным динамическим системам.

---

Редактировать дополнение: В качестве проверки возможности геометрического подхода к практическому квантовому моделированию наша группа по разработке квантовых систем (QSE) дополнила классический учебник Чарли Слихтера « Принципы магнитного резонанса» расширенной версией главы 3 « Магнитное диполярное уширение и поляризационный транспорт в Жесткие решетки ".

Эта геометрическая транскрипция естественно указывает на несколько открытых вопросов в геометрической динамике; см., например, вопрос MathOverflow « В квантовом динамическом моделировании, что является симметричным (римановым) аналогом скобки Пуассона? »

Прежде всего, почему наблюдаемые представляются операторами? В классической механике наблюдаемая является вещественной функцией на фазовом пространстве. Он извлекает из системы информацию о таких значениях, как энергия или импульс, но не влияет на нее и не мешает ей. Если наблюдатель является частью системы, то измерение является физическим процессом и может изменить эволюцию системы. Чтобы конечная, не бесконечно малая эволюция времени была унитарной (т. Е. Сохранить полную вероятность), бесконечно малая эволюция времени должна быть эрмитовой. Это теорема Стоуна; это объясняет, почему операторы в квантовой механике эрмитовы.

Если это имеет смысл, формула следует из двух вещей:$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

• $M$ описывает бесконечно малую временную эволюцию процесса измерения для наблюдаемой. Преемником является а по двойственности преемником является .$\mid\psi\rangle$$M\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid$$\langle\psi\mid M^\dagger$
• Норма - это полная вероятность состояния. В сочетании с предыдущим пунктом это показывает, что общая вероятность преемника равна . Деление на квадратный корень нормализует состояние.$\langle\psi\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

Ну, я собираюсь предоставить некоторые дополнительные ссылки, относящиеся к вопросу Акаша Кумара о квантовых постулатах, с целью побудить студентов изучать математику, в которой они нуждаются, чтобы оценить многие хорошо разработанные рамки для изучения как классической, так и квантовой динамики.

Давайте начнем с того, где текст Нильсена-Чуанга заканчивается, а именно, с «Теоремы: унитарная свобода в представлении оператор-сумма» (раздел 8.2 Нильсена-Чуанга). В тексте Нильсена и Чуанга отмечается, что одним из практических применений этой теоремы является теория квантовой коррекции ошибок, где она «имеет решающее значение для хорошего понимания квантовой коррекции ошибок». Но затем текст Нильсена-Чуанга замолкает.

Ответы, данные (пока) здесь, на бирже стеков, не сильно помогают в понимании этой «унитарной свободы» ... которая, как оказывается, является центральной для всех аспектов квантовой механики, связанных с тем, что Эйнштейн и Бор назвали «spukhafte Fernwirkungen» (жуткое действие на расстоянии) квантовой механики. В частности, эта унитарная свобода является ключом к квантовому считыванию, квантовой коррекции ошибок и квантовой криптографии - трем основным причинам, по которым студенты TCS изучают квантовую динамику.

Чтобы узнать больше, что должен прочитать студент? Существует множество вариантов (и другие могут иметь свои собственные предпочтения), но я собираюсь порекомендовать «Статистические методы в квантовой оптике: неклассические поля» Говарда Кармайкла, в частности главу 17–19 под названием «Квантовые траектории I- III».

В этих трех главах текст Кармайкла физически мотивирует то, что текст Нильсена-Чуанга кодирует как формальные постулаты и теоремы, а именно нашу свободу «распутывать» проективные измерения (в том числе и непроективные измерения) различными способами. Физически эта свобода гарантирует, что мы живем в причинно разделимой вселенной, математически эта свобода является основой всей квантовой криптографии и исправления ошибок.

По сути, сам Кармайкл в 1993 году изобрел стандартный термин «распутывание», чтобы описать эту информативную инвариантность. С тех пор распространившаяся литература чрезвычайно расширилась: полнотекстовый поиск на сервере arxiv для поиска «квантов» и «распутывания» находит 762 рукописи; вариант написания "распутывание" находит еще 612 рукописей (возможно, с некоторыми дубликатами).

Конечно, изучение математического инструментария и физических идей, связанных с квантовым раскрытием, - большая работа. Резонно спросить, какую выгоду (ы) могут ожидать студенты, чтобы возместить эту тяжелую работу? В ответ приведем притчу, состоящую из одного параграфа, главное достоинство которой в том, что она намного короче, чем чтение двух очень длинных, жестких квантовых текстов (Нильсен-Чуанг и Кармайкл).

Однажды студентка евклидовой геометрии по имени Алиса спросила себя: «Как на самом деле работает измерение евклидовой длины?» Евклидовы постулаты ответили на вопрос Алисы следующим образом: «Все измерения физической длины эквивалентны измерениям с помощью компаса, математическая модель которого представляет собой отрезок числовой линии». Тем не менее, благодаря огромным усилиям творческого воображения, Алиса задумала эквивалентный, но более общий ответ: «Все измерения физической длины эквивалентны интегрированию скоростей вдоль траекторий, математическая модель которых представляет собой кривые на многообразиях, которые снабжены симплектическими и метрическими формами и динамическими потенциалами». «. Неевклидову основу Алисы для классической динамики было много работы, но она открыла для нее новые миры науки, технологии,

Чтобы выразить смысл притчи, Алиса приняла дифференциальное описание классической динамики и таким образом освободилась от жестких ограничений евклидова пространства. Точно так же сегодняшние квантовые студенты имеют возможность принять дифференциальное описание распадающейся динамики и, таким образом, освободиться от жестких ограничений гильбертова пространства.

Как и в случае с неевклидовой классической динамикой, негильбертова квантовая динамика - это большая работа, которую нужно изучить - в настоящее время нет единого учебника, который охватывал бы весь необходимый материал, - и все же эти новые неевклидовы / негильбертовы Динамические рамки открывают огромные новые миры для исследования. Эти исследования простираются от загадок теории струн до сложных задач написания эффективных, проверенных кодов квантового моделирования в химии и материаловедении. Ясно, что исследования в любой из этих областей уже требуют от студентов как более глубокого, чем Евклида, понимания классической динамики, так и более глубокого, чем Гильберта, понимания квантовой динамики.

Вот почему математические проблемы и исследовательские возможности, связанные как с классической, так и с квантовой динамикой, никогда не были так велики, как в настоящее время. И это хорошо!