Геометрическая картина за квантовыми экспандерами

(также спрашивается здесь , без ответов)

-квантовый расширитель является распределение над унитарной группой со свойством , что: а) , b) , где \ mu_H - мера Хаара. Если вместо распределений по унитарным мы рассмотрим распределения по матрицам перестановок, нетрудно увидеть, что мы восстанавливаем обычное определение d- регулярного графа экспандера. Дополнительные сведения см., Например: « Эффективные квантовые расширители тензорных продуктов» и «k-design» от Harrow и Low.$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$

Мой вопрос - допускают ли квантовые расширители какую-либо геометрическую интерпретацию, подобную классическим расширителям (где спектральная щель $\sim$ изопериметрия / расширение основного графа)? Я не определяю «геометрическую реализацию» формально, но концептуально можно надеяться, что чисто спектральный критерий может быть переведен в некоторую геометрическую картину (которая, в классическом случае, является источником математического богатства, которым обладают экспандеры; математическая структура кванта экспандеры кажутся гораздо более ограниченными).

[Этот ответ был скопирован из моего ответа на ныне несуществующем сайте обмена теоретической физикой стека.] Для классических расширителей спектральное определение может быть выражено через второе наименьшее собственное значение графа Лапласа, которое можно рассматривать как минимум квадратичная форма по всем единичным векторам, ортогональным к единому вектору. Если мы ограничим эту минимизацию векторами вида (a, a, ..., a, b, b, ..b), то это даст расширение графа графа. здесь обсуждение. Грубая эквивалентность этих двух определений известна как неравенство Чигера .

Это говорит о том, что для квантового случая мы должны рассмотреть действие канала (сформированного путем применения случайного унитарного из экспандера) на проекторы. Результат, аналогичный неравенству Чигера, получен в Приложении A arXiv: 0706.0556 .

С другой стороны, хотя это математически аналогично, мы все же знаем о гораздо меньшем количестве применений квантовых расширителей, чем о классических расширителях.