Разделяет ли пара непересекающихся гомотопических циклов в дуале граф?

9

Позволять G быть графом, вложенным в ориентируемую компактную поверхность рода gтак что вложение является клеточным. Рассмотрим двойственный графикG, ПозволятьC1 а также C2 быть непересекающимися циклами в G гомотопны друг другу и позволяют E1 а также E2 быть их соответствующими наборами ребер в Gсоответственно. ЯвляетсяG(E1E2) отключенный граф?

Кава
источник

Ответы:

9

Да. Дай мне написатьΣ для поверхности, на которой G а также G встроены

Потому что циклы C1 а также C2 гомотопны, они тоже в том же Z2класс гомологии. Итак, по определению, симметричная разницаC1C2 является границей объединения некоторого подмножества граней G; называть это союзом лицU, (На самом деле, либоU или его дополнение ΣU должно быть кольцо, но это не важно.)

Потому что C1 а также C2 не пересекаются, симметричная разница C1C2 равен союзу C1C2, В частности, у нас естьC1C2, что подразумевает, что оба U и его дополнение ΣUне пустые. Другими словами, недраΣ(C1C2) отключен

Любой путь в G можно рассматривать как путь в Σ что избегает вершин Gи наоборот (с точностью до гомотопии). Таким образом, (граф) компонентыG(E1E2) биективно соответствуют (поверхностным) компонентам Σ(C1C2), Мы заключаем, чтоG(E1E2) отключен

Предположение, что Σ ориентируемый никогда не используется.

Jeffε
источник
Джефф, можете ли вы указать мне ссылку, которая содержит этот результат?
2
Извини, нет. Но наблюдение о том, что два простых непересекающихся гомотопических не стягиваемых цикла связывают кольцевое пространство (которое дает вам большую часть пути), появляется у Дэвида Б. А. Эпштейна. Кривые на 2-многообразиях и изотопии. Acta Mathematica 115: 83–107, 1966.
Джефф