На мерных многообразиях и решетках

11

РЕДАКТИРОВАТЬ (Тара B): Я все еще был бы заинтересован в ссылке на доказательство этого, так как я должен был доказать это сам для моей собственной статьи.

Я ищу доказательство теоремы 4, которое появляется в этой статье:

Бесконечная иерархия пересечений контекстно-свободных языков Лю и Вейнера.

Теорема 4: - мерное аффинное многообразие не выражается в виде конечного объединения аффинных многообразий каждый из которых имеет размерность или меньше.nn1

  1. Кто-нибудь знает ссылку на доказательство?
  2. Если многообразие конечно и мы определяем естественный порядок на элементах, есть ли подобное утверждение в терминах решеток?

Некоторые предпосылки, чтобы понять теорему:

Определение: Пусть - множество рациональных чисел. Подмножество является аффинным многообразием, если когда , и .QMQn(λx+(1λ)y)MxMyMλQ

Определение: аффинное многообразие называется параллельным аффинному многообразию если для некоторого .MMM=M+aaQn

Теорема: Каждое непустое аффинное многообразие параллелен уникального подпространства . Это определяется какMQnKKK={xy:x,yM}

Определение: измерение из непустого аффинного многообразия является размерностью подпространства параллельно ей.


Маркос Вильягра
источник
Я знаю, что это довольно старый вопрос, но я только что натолкнулся на него сегодня и просто хотел спросить, читали ли вы эту газету по какой-то конкретной причине? (Это очень тесно связано с некоторыми из моих исследований.)
Tara B

Ответы:

5

Интуитивно понятно, что в теореме говорится, что прямая не является конечным объединением точек, плоскость не является конечным объединением линий и т. Д. Простейшим доказательством является, например, наблюдение, что конечное объединение линий имеет нулевую площадь, тогда как Самолет нет.

Конкретнее, заметьте, что достаточно доказать утверждение для многообразий наRn , перейдя к их замыканиям. Рассмотрим аффинное многообразие заданное множеством решений линейной системы A x = b ; его замыкание будет в точности набором решений той же системы над R n , поэтому этот шаг не влияет на размерность участвующих многообразий. Кроме того, замыкание конечного объединения равно объединению замыканий.MQnAx=bRn

Отметим теперь, что мерная мера Лебега многообразия размерности d - 1 равна нулю. Поэтому d- мерная мера Лебега конечного объединения таких многообразий все еще равна нулю. Но d- мерная мера d- мерного многообразия бесконечна и, следовательно, не равна нулю.dd1ddd

Что касается вашего второго вопроса, я не совсем уверен, что вы имеете в виду. Но если базовое поле конечно, то любое d- мерное аффинное многообразие над F n содержит | F | д баллов. Таким образом, с помощью аналогичного аргумента подсчета вам нужно хотя бы | F | д / | F | д - 1 = | F | аффинные пространства размерности d - 1, чтобы покрыть аффинное пространство размерности d .FdFn|F|d|F|d/|F|d1=|F|d1d

Дэвид
источник
благодаря!! это отвечает на оба вопроса. Во втором вопросе я (очень неясно) имел в виду «что произойдет, если вместо аффинного многообразия у нас будет конечное выпуклое множество». Но все же твой ответ очистил мои сомнения.
Маркос Вильягра,
6

Вот доказательство без меры, которое работает для аффинных многообразий над произвольным бесконечным полем (результат для конечных полей неверен).F

n0AFmnn

n=0

nn+1A=i<kAidim(A)=n+1dim(Ai)nBAnB=i(BAi)dim(BAi)=ni<kB=AikAiBAnB0vAB0AB0+avaF

Эмиль Йержабек
источник
Хорошее альтернативное доказательство!
Маркос Вильягра,
2
Нет, это доказательство , а другой является альтернативой , поскольку она тащит в теории меры :-)
Андрей Bauer
Аааа, я вижу, хорошая мысль
Маркос Вильягра