РЕДАКТИРОВАТЬ (Тара B): Я все еще был бы заинтересован в ссылке на доказательство этого, так как я должен был доказать это сам для моей собственной статьи.
Я ищу доказательство теоремы 4, которое появляется в этой статье:
Бесконечная иерархия пересечений контекстно-свободных языков Лю и Вейнера.
Теорема 4: - мерное аффинное многообразие не выражается в виде конечного объединения аффинных многообразий каждый из которых имеет размерность или меньше.
- Кто-нибудь знает ссылку на доказательство?
- Если многообразие конечно и мы определяем естественный порядок на элементах, есть ли подобное утверждение в терминах решеток?
Некоторые предпосылки, чтобы понять теорему:
Определение: Пусть - множество рациональных чисел. Подмножество является аффинным многообразием, если когда , и .
Определение: аффинное многообразие называется параллельным аффинному многообразию если для некоторого .
Теорема: Каждое непустое аффинное многообразие параллелен уникального подпространства . Это определяется как
Определение: измерение из непустого аффинного многообразия является размерностью подпространства параллельно ей.
Ответы:
Интуитивно понятно, что в теореме говорится, что прямая не является конечным объединением точек, плоскость не является конечным объединением линий и т. Д. Простейшим доказательством является, например, наблюдение, что конечное объединение линий имеет нулевую площадь, тогда как Самолет нет.
Конкретнее, заметьте, что достаточно доказать утверждение для многообразий наRn , перейдя к их замыканиям. Рассмотрим аффинное многообразие заданное множеством решений линейной системы A x = b ; его замыкание будет в точности набором решений той же системы над R n , поэтому этот шаг не влияет на размерность участвующих многообразий. Кроме того, замыкание конечного объединения равно объединению замыканий.M⊆Qn Ax=b Rn
Отметим теперь, что мерная мера Лебега многообразия размерности ≤ d - 1 равна нулю. Поэтому d- мерная мера Лебега конечного объединения таких многообразий все еще равна нулю. Но d- мерная мера d- мерного многообразия бесконечна и, следовательно, не равна нулю.d ≤d−1 d d d
Что касается вашего второго вопроса, я не совсем уверен, что вы имеете в виду. Но если базовое поле конечно, то любое d- мерное аффинное многообразие над F n содержит | F | д баллов. Таким образом, с помощью аналогичного аргумента подсчета вам нужно хотя бы | F | д / | F | д - 1 = | F | аффинные пространства размерности ≤ d - 1, чтобы покрыть аффинное пространство размерности d .F d Fn |F|d |F|d/|F|d−1=|F| ≤d−1 d
источник
Вот доказательство без меры, которое работает для аффинных многообразий над произвольным бесконечным полем (результат для конечных полей неверен).F
источник