Уникальные плитки квадратов

Мы хотим выложить квадрат $m\times m$ используя два типа плиток: квадрат $1 \times 1$ квадрат $2 \times 2$ , чтобы каждый нижележащий квадрат был покрыт без перекрытия. Определим функцию $f(n)$ которая задает размер наибольшего однозначно обрабатываемого квадрата, используя $n$ $1\times 1$ -квадрат и любое количество $2 \times 2$ -квадрат.

Эта функция вычислима? Какой алгоритм?

РЕДАКТИРОВАТЬ1: Исходя из ответа Стивена, уникальная мозаика означает, что существует один способ поместить квадраты $2 \times 2$ внутри квадрата $m \times m$ с уникальной конфигурацией для расположения квадратов $n$ $1 \times 1$ внутри куба $m \times m$ -квадрат.

Вот аргумент, чтобы доказать мои предположения в комментариях, что таких уникальных значений не существует для любого не квадратного . Во-первых, как отметил Сашо в комментариях, n должно быть ограничено, поскольку таких значений не существует, если n ≡ 2 или . Если - идеальный квадрат то очевидно, что квадрат является уникально мозаичным, поэтому четко определено и не равно нулю в этих случаях. Чтобы завершить аргумент, осталось только показать, что никакие тайлы, включающие или более тайла, не могут быть уникальными.$n\gt 5$$n$$n\equiv2$$3\pmod 4$$n$$n=k^2$$k\times k$$f(n)$$1$$2\times 2$

Сначала рассмотрим случай , скажем, . Если у нас есть мозаика квадрата с использованием плиток, очевидно, должно быть четным, скажем, ; тогда мы можем построить мозаичные построив мозаику из плиток, а затем заменив из них на 'блоки' из четырех плиток. Понятно, что различные замены всегда могут привести к различным наклонам, за исключением случаев или где либо один$n\equiv 0\pmod 4$$n=4k$$m\times m$$n\ 1\times 1$$m$$m=2j$$j\times j$$2\times2$$k$$1\times 1$$m=4, n=12$$m=4, n=4$$2\times 2$плитка или один «блок из четырех» осталось; в этих случаях, однако, существует другой неэквивалентный лист, который помещает плитку в в центр ребра, а не в угол.$2\times 2$

Наконец, предположим, что , в частности, предположим, что (и с чтобы предотвратить слегка тривиальный случай, когда в квадрате просто «недостаточно места» для следующего аргумента, чтобы пройти ). Тогда ни один квадрат размером или меньше не может быть уникально мозаичным: рассмотрите плитку с плитку в верхней части квадрата и вниз справа от квадрата (с любыми дополнительными плитку просто заправил на правую сторону - они не могут повлиять на аргумент). Теперь блок в верхнем левом углу квадрата (состоящий из двух плиток сверху и$n\equiv 1\pmod 4$$n=4t+1$$t\gt 1$$(2t+1)^2$$1\times 1$$1\times 1$$2\times 3$$1\times 1$$2\times 2$плитку под ними) можно «перевернуть», чтобы получить мозаику, которая обязательно будет отличаться от мозаики, которую мы построили. Наконец, ни один квадрат размером больше может быть мозаичным вообще: предположим, мы пытаемся выложить квадрат размером для ; тогда по принципу голубя мы не можем разместить на квадрате больше, чем плитки, что означает квадратов осталось - но так как , , число плитки мы имеем в наличии.$(2t+1)^2$$(2s+1)^2$$s\gt t$$s^2\ 2\times 2$$(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$$s\gt t$$4s+1\gt 4t+1=n$$1\times 1$

Таким образом, единственные уникальные значения, которые существуют для это те, которые вообще не используют плитки, и ненулевое, только когда является квадратом (в этом случае оно равно ).$n\gt 5$$2\times 2$$f(n)$$n$$\sqrt{n}$