В чем именно заключается семантическая разница между категорией и множеством?

В этом вопросе я спросил, в чем разница между набором и типом . Эти ответы действительно проясняются (например, @AndrejBauer), поэтому в своей жажде знаний я подчиняюсь искушению задать то же самое о категориях:

Каждый раз, когда я читаю о теории категорий (которая, по общему признанию, является довольно неформальной), я не могу понять, насколько она конкретно отличается от теории множеств .

Итак, самым конкретным возможным способом, что именно означает, что $x$ говорит, что он находится в категории , по сравнению с утверждением, что x ∈ S ? (например , в чем разница между высказыванием х представляет собой группу, по сравнению с говоря , что х находится в категории G г р ?).$C$$x\in S$$x$$x$$\mathrm {Grp}$

(Вы можете выбрать любую категорию и набор, который делает сравнение наиболее понятным).

Вкратце, теория множеств - это членство, а теория категорий - это структурно-сохраняющие преобразования.

Теория множеств - это только членство (т.е. элемент) и то, что может быть выражено через это (например, подмножество). Это не касается других свойств элементов или наборов.

Теория категорий - это способ рассказать о том, как математические структуры данного типа ¹ могут быть преобразованы друг в друга ^{2 с} помощью функций, которые сохраняют некоторый аспект их структуры; она обеспечивает равномерный язык для говоря большой диапазон типов ¹ математической структуры (групп, автоматы, векторные пространств, множеств, топологических пространств, ... и даже категории!) и отображение в пределах этих типов ¹ . Хотя он формализует свойства отображений между структурами (в действительности: между наборами, на которые накладывается структура), он имеет дело только с абстрактными свойствами карт и структур, называя их морфизмами (или стрелками ) и объектами.; элементы таких структурированных множеств не являются предметом теории категорий, равно как и структуры этих множеств. Вы спрашиваете « что это за теория »; это теория структурно-сохраняющих отображений математических объектов произвольного типа ¹ .

Однако теория абстрактных категорий ³ , как только что было сказано, полностью игнорирует множества, операции, отношения и аксиомы, определяющие структуру рассматриваемых объектов, и просто предоставляет язык, на котором можно говорить о том, как отображения, которые действительно сохраняют некоторую такую ​​структуру вести себя: не зная, какая структура сохраняется, мы знаем, что комбинация двух таких карт также сохраняет структуру. По этой причине аксиомы теории категорий требуют, чтобы существовал закон ассоциативной композиции морфизмов и, аналогично, существовал морфизм тождества от каждого объекта к себе. Но это не предполагает, что морфизмы на самом деле являются функциями между множествами, просто они ведут себя как они.

Будут разработаны: конкретные категории моделируют идею добавления структуры к объектам «базовой категории»; когда это у нас может быть ситуация, когда мы добавляем структуру, как групповую операцию, в набор. В этом случае можно сказать больше о том, как структура добавляется в терминах конкретной базовой категории.$\mathsf{Set}$

Что касается последствий ваших формулировок , говоря, что « является группой», что « G является элементом множества групп» (на самом деле правильный класс ) или что « G является (объектом) в G r p » ( или « G r p -объект») означает то же самое логически, но разговор о категории предполагает, что вас интересуют групповые гомоморфизмы (морфизмы в G r p ) и, возможно, их общее с другими морфизмами. С другой стороны, говоря $G$$G$$G$$\mathsf{Grp}$$\mathsf{Grp}$$\mathsf{Grp}$$G$Если группа может предположить, что вас интересует структура самой группы (ее операция умножения) или, возможно, то, как группа действует на какой-то другой математический объект. Вы вряд ли будете говорить о принадлежащем к набору групп, хотя вы могли бы легко написать G ∈ S для некоторого конкретного набора групп, которые вас интересуют.$G$$G ∈ S$$S$

Смотрите также

• /math/tagged/category-theory?sort=votes
  • В частности /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
• Конспект и Конкретные Категории: Радость Кошек Адамеком, Герлихом и Штрекером
• https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{Здесь и пассим я не имею в виду тип в смысле теории типов, а скорее набор свойств, требуемых от математических объектов / структур, то есть набор аксиом, которым они удовлетворяют. Обычно они описывают поведение некоторых операций или отношений над элементами наборов, рассматриваемых как несущие структуру, хотя в случае самих наборов ( ) нет структуры за пределами самих наборов. В любом случае, как сказано выше, теория категорий игнорирует детали этой структуры.$\mathsf{Set}$}

² _{Я , возможно , следует сказать , во все или часть друг друга : один позволяет гомоморфизм (целых) в (Рациональные) , приведенные .Q n ↦ $\mathbb Z$ $\mathbb Q$$n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Без квалификации « категория » обычно означает «абстрактную категорию», введенную, насколько я вижу, в 1945 году и разработанную в 1960-х годах, в то время как конкретные категории, кажется, появляются в 1970-х годах.}

$C$$x$$x$$x$$x$$x$

$x$$x$

$x$$x$

Еще один момент объяснения DW

$x$$x$$\mathsf{Grp}$

Я хотел бы сделать более сильное заявление:

Понятие определяется его категорией

$M$$M$$M_0$

$M$$M$$A \in M_0$$B \in M_0$$A$$B$$M(A,B)$

$M_0$$M(A,B)$

Как только вы это сделаете, категория даст вам много свойств концепции по умолчанию. Примеры варьируются от

• «какие случаи по существу одинаковы --- изоморфизм»,
• «какой из этих двух экземпляров больше, а какой меньше - пара секция-отвод»,
• «Сколько базовых элементов находится внутри этого экземпляра? --- homset из терминального объекта»

и так далее.

Что касается вопроса, который вы задаете в комментарии

Какой математический процесс / структура является теорией категории теории?

$\mathsf{Cat}$

наборы

$f$

Философия. Наборы имеют внутреннюю структуру - они полностью определяются своими элементами.

Замечание. Аксиоматическая система, широко используемая теоретиками множеств, - это ZFC. Его сила в простоте: есть только наборы и членские отношения. С другой стороны, многие математики считают, что это приводит к концепции множеств, которая расходится с их пониманием и использованием множеств (сравните ниже, Leinster ). Фактически, подавляющее большинство математиков (кроме теоретиков множеств), похоже, не используют аксиомы ZFC. Однако наборы не обязательно относятся к ZFC (см. Ниже категории и ETCS).

категории

$x\in A$$\{y\})$

Философия. Объекты категории априори не имеют внутренней структуры. Они просто характеризуются своими отношениями (морфизмами) к другим объектам.

Замечание. Основное понятие категорий - функция, и это совпадает с использованием множеств подавляющим большинством математиков. Поэтому вы можете рассматривать категории как концептуальное обобщение того, как (большинство) математиков из самых разных областей используют наборы в своей повседневной работе. Помимо категорий (и топосов) в качестве обобщения вы можете взглянуть на аксиоматическую систему ETCS, которая является аксиоматизирующим множеством (сравните ниже Лейнстер и Лавре ).

Вопрос. В чем разница между утверждением, что x является группой, и тем, что x входит в категорию Grp?

$x$$x$

$x$$x$

$x$$x$

Критики

В случае ZFC и ETCS эти подходы могут быть преобразованы друг в друга, хотя ETCS слабее, чем ZFC, но (по-видимому) охватывает большую часть математики (см. MathStackExchange и Leinster). В принципе (используя расширение ETCS) вы можете доказать одинаковые результаты с обоими подходами. Таким образом, вышеупомянутая философия обоих понятий не претендует на фундаментальное различие в том, что вы можете выразить или какие результаты вы можете доказать.

Выражения набор и статус в ZFC являются абстрактными понятиями, как и понятия категорий или любой другой аксиоматической системы и может означать что угодно. Таким образом, с этой формальной точки зрения утверждать, что ZFC касается внутренней структуры множеств, тогда как категории имеют дело с внешними отношениями объектов друг к другу, кажется неуместным. С другой стороны, это, кажется, философия или интуиция относящихся к теории.

Однако на практике вы предпочтете определенный подход, например, для ясности или простоты или потому, что какая-то концепция или связь с другой областью развивается более естественно, чем где-либо еще.

Ссылки

Спивак. Теория категорий для ученых

Лейнстер. Переосмысление теории множеств

Лаврэ. Элементарная теория категории множеств

MathStackExchange.Category теория без множеств