Я вижу много алгоритмических проблем, которые всегда сводятся к чему-то длинному:

У вас есть целочисленный массив , вам нужно найти такое, что максимизирует за времени.$h[1..n]\geq 0$$i,j$$(h[j]-h[i])(j-i)$$O(n)$

Очевидно, что временное решение состоит в том, чтобы рассмотреть все пары, однако есть ли способ максимизировать выражение в не зная ничего о свойствах ?$O(n^2)$$O(n)$$h$

Одна идея, о которой я подумал, это исправить , тогда нам нужно найти от до , равный или и поскольку фиксировано, нам нужно .$j$$i^*$$1$$j-1$$\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$$\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$$j$$\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$

Тем не менее, я не вижу способа избавиться от зависимых терминов внутри. Любая помощь?$j$

---

Это решение $O(n\log n)$ . O ( п ) решение указывало Willard Zhan добавляются в последнем из этого ответа.$O(n)$

---

$O(n\log n)$ решение

Для удобства обозначим $f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$ .

Определите $l_1=1$ , и $l_i$ будет наименьшим индексом, так что $l_i>l_{i-1}$ и $h[l_i]<h[l_{i-1}]$ . Аналогично, определите $r_1=n$ , и $r_i$ будет наибольшим индексом, так что $r_i<r_{i-1}$ и $h[r_i]>h[r_{i-1}]$ . Последовательности$l_1,l_2,...$и$r_1,r_2,\ldots$ легко вычислить за$O(n)$ время.

Случай, когда нет такого, что h [ i ] < h [ j ] (т. Е. F ( i , j ) > 0 ), тривиален. Теперь сосредоточимся на нетривиальных случаях. В таких случаях, чтобы найти решение, нам нужно только рассмотреть такие пары.$i<j$$h[i]< h[j]$$f(i,j)>0$

Для каждого такого, что h [ i ] < h [ j ] , пусть u будет наибольшим индексом, таким, что l u ≤ i , и v будет наименьшим индексом, таким, что r v ≥ j , тогда h [ l u ] ≤ h [ i ] (иначе l u + 1 ≤ i по определению l u + $i<j$$h[i]<h[j]$$u$$l_u\le i$$v$$r_v\ge j$$h[l_u]\le h[i]$$l_{u+1}\le i$$l_{u+1}$Таким образом, противоречит определению ), и аналогично h [ r v ] ≥ h [ j ] . Следовательно ( ч [ г V ] - ч [ л у ] ) ( г V - л U ) ≥ ( ч [ J ] - ч [ я ] ) ( г V - л у ) ≥ ( ч $u$$h[r_v]\ge h[j]$ Это означает, что нам нужно рассматривать только пары ( l u , r v ), где l u < r v .

$$(h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(j-i).$$ $(l_u,r_v)$$l_u<r_v$

Обозначим , имеем следующую лемму.$v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$

Пара где l u < r v и где существует u 0, такое что u < u 0 и v < v ( u 0 ) или такое, что u > u 0 и v > v ( u 0 ) , не может быть окончательным оптимальным решением.$(l_u,r_v)$$l_u<r_v$$u_0$$u<u_0$$v<v(u_0)$$u>u_0$$v>v(u_0)$

Доказательство. Согласно определению , мы имеем ( h [ r v ( u 0 ) ] - h [ l u 0 ] ) ( r v ( u 0 ) - l u 0 ) ≥ ( h [ r v ] - h [ l u 0 ] ) ( r v - $v(u_0)$ или (ч[гV]-ч[г V ( U 0 ) ])л у 0 +ч[л у 0 ](гV-г V ( U 0 ) )+ч[г V ( U 0 ) ]r v ( u 0 )

$$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$$ $$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$$

В случае, когда и v < v ( u 0 ) , заметим, что h [ r v ] - h [ r v ( u 0 ) ] < 0 и r v - r v ( u 0 ) > 0 , а также l u < l u 0 и h [ l u ] > $u<u_0$$v<v(u_0)$$h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$$r_v-r_{v(u_0)}>0$$l_u<l_{u_0}$ , мы имеем $h[l_u]>h[l_{u_0}]$

$$\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$$

$$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$$ $$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$$

$(l_u,r_{v(u_0)})$$(l_u,r_v)$$\blacksquare$

$v(\ell/2)$$\ell$$l_1,l_2,\ldots$$o_1$$(l_u,r_v)$$u=1,\ldots,\ell/2-1$$v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$$o_2$$(l_u,r_v)$$u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$$v=1,\dots,v(\ell/2)$$\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$

---

$O(n)$

$f(l_u,r_v)=-\infty$$l_u\ge r_v$$u>u_0$$v>v_0$$f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$$f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$$M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$$c$$r_1,r_2,\ldots$$r_{c-y+1}$$y$$M$$f$