Доказательство двоичной кучи имеет

Я пытаюсь доказать, что двоичная куча с узлами имеет точно exactly $n$выходит, учитывая, что куча строится следующим образом:$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Каждый новый узел вставляется через percolate up . Это означает, что каждый новый узел должен быть создан на следующем доступном дочернем узле. Под этим я подразумеваю, что дети заполнены вниз и слева направо. Например, следующая куча:

    0
   / \
  1   2

должен был бы быть построен в следующем порядке: 0, 1, 2. (числа являются просто индексами, они не дают указания на фактические данные, хранящиеся в этом узле.)

Это имеет два важных значения:

1. На уровне не может быть узла, если уровень k не заполнен полностью$k+1$$k$

2. Поскольку дочерние элементы создаются слева направо, между узлами на уровне не может быть «пустых мест» или ситуаций, подобных следующим: $k+1$

       0
      / \
     1   2
    / \   \
   3  4    6
   

(По моему определению это была бы недопустимая куча.) Таким образом, хороший способ думать об этой куче - реализация массива кучи, где не может быть никаких «переходов» в значениях массива.

Итак, я думал, что индукция, вероятно, будет хорошим способом сделать это ... Возможно, что-то, имеющее дело с даже нечетными случаями для n. Например, некоторая индукция использует тот факт, что четные кучи, построенные таким образом, должны иметь внутренний узел с одним дочерним элементом для четного n, и не иметь таких узлов для нечетного n. Идеи?

Если я правильно понял ваш вопрос, полученная куча - это просто упорядоченное бинарное дерево, где в упорядоченном я имею в виду, что й уровень может быть занят только после того, как уровень k - 1 полностью заполнен, а каждый уровень занят слева. направо, не пропуская.$k$$k-1$

Тогда доказательство идет так.

1. Идеальное дерево глубины имеет ровно 2 k + 1 - 1 вершин.$k$$2^{k+1}-1$
2. Предположим, что куча достигает глубины . таким образом $k$
   1. до уровня дерево идеально (и имеет 2 k - 1 узлов там)$k-1$$2^k-1$
   2. на последнем уровне есть ровно узлов, которые все являются листьями.$n-2^k+1$
3. У каждого листа на м уровне есть родитель. Более того, каждые два последовательных листа имеют одного и того же отца (возможно, за исключением последнего узла, у отца которого только один ребенок)$k$
4. Таким образом, из узлов на уровне k - 1 , ⌈ n - 2 k + $2^{k-1}$$k-1$родители, а остальные2k-1-⌈n-2 k +$\left\lceil \frac{n-2^{k}+1}{2} \right\rceil$это листья.$2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$
5. Общее количество листьев составляет Что дает вам то, что вам нужно. $$n-2^k+1 + 2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$$

Вот более простое логическое доказательство.

$n^{th}$$\lfloor{n/2}\rfloor$$\lfloor n/2 +1\rfloor)^{th}$$\lfloor{n/2}\rfloor$

$\lfloor(n/2)\rfloor$$\lceil(n/2)\rceil$