Как эта грамматика LL (1)?

Это вопрос из Книги Дракона. Это грамматика:

$S \to AaAb \mid BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

Вопрос состоит в том, как показать, что это LL (1), но не SLR (1).

Чтобы доказать, что это LL (1), я попытался построить его таблицу синтаксического анализа, но я получаю несколько продукций в ячейке, что противоречит.

Подскажите пожалуйста как это LL (1) и как это доказать?

Во-первых, давайте дадим номер вашей продукции.

1 2 S → B b B a 3 A → ε 4 B → $S \to AaAb$
$S \to BbBa$
$A \to \varepsilon$
$B \to \varepsilon$

Давайте вычислим первый и последуем за множествами. Для небольших примеров, подобных этим, достаточно использовать интуицию об этих наборах.

$$\mathsf{FIRST}(S) = \{a, b\}\\ \mathsf{FIRST}(A) = \{\}\\ \mathsf{FIRST}(B) = \{\}\\ \mathsf{FOLLOW}(A) = \{a, b\}\\ \mathsf{FOLLOW}(B) = \{a, b\}$$

Теперь давайте вычислим таблицу . По определению, если мы не получим конфликты, грамматика будет L L ( 1 ) .$LL(1)$$LL(1)$

    a | b |
-----------
S | 1 | 2 |
A | 3 | 3 |
B | 4 | 4 |

Поскольку нет конфликтов, грамматика .$LL(1)$

Теперь для таблицы . Во-первых, автомат L R ( 0 ) .$SLR(1)$$LR(0)$

$$\mbox{state 0}\\ S \to \bullet AaAb\\ S \to \bullet BbBa\\ A \to \bullet\\ B \to \bullet\\ A \implies 1\\ B \implies 5\\ $$ $$\mbox{state 1}\\ S \to A \bullet aAb\\ a \implies 2\\ $$ $$\mbox{state 2}\\ S \to Aa \bullet Ab\\ A \to \bullet\\ A \implies 3\\ $$ $$\mbox{state 3}\\ S \to AaA \bullet b\\ b \implies 4\\ $$ $$\mbox{state 4}\\ S \to AaAb \bullet b\\ $$ $$\mbox{state 5}\\ S \to B \bullet bBa\\ b \implies 6\\ $$ $$\mbox{state 6}\\ S \to Bb \bullet Ba\\ B \to \bullet\\ B \implies 7\\ $$ $$\mbox{state 7}\\ S \to BbB \bullet a \\ a \implies 8\\ $$ $$\mbox{state 8}\\ S \to BbBa \bullet \\ $$

$SLR(1)$$S$

    a     | b     | A | B |
---------------------------
0 | R3/R4 | R3/R4 | 1 | 5 |
1 | S2    |       |   |   |
2 | R3    | R3    | 3 |   |
3 |       | S4    |   |   |
4 | R1    | R1    |   |   |
5 |       | S4    |   |   |
6 | R4    | R4    |   | 7 |
7 | S8    |       |   |   |
8 | R2    | R2    |   |   |

$SLR(1)$$LALR(1)$$a$ $LALR(1)$$b$

$LL(1)$$LALR(1)$

Если вас не спрашивают, вам не нужно создавать таблицу LL (1), чтобы доказать, что это грамматика LL (1). Вы просто вычисляете наборы FIRST / FOLLOW, как Алекс:

$\qquad \begin{align} \operatorname{FIRST}(S)&={a,b} \\ \operatorname{FIRST}(A)&={ε} \\ \operatorname{FIRST}(B)&={ε} \\ \operatorname{FOLLOW}(A)&={a,b} \\ \operatorname{FOLLOW}(B)&={a,b} \end{align}$

И тогда по определению грамматика LL (1) должна:

1. Если и - это два разных правила грамматики, то это должно быть . Следовательно, два набора не имеют общего элемента.$A \Rightarrow a$$A \Rightarrow b$$\operatorname{FIRST}(a) \cap \operatorname{FIRST}(b) = \emptyset$
2. Если для любого нетерминального символа вас есть , то это должно быть . Следовательно, если для нетерминального символа есть нулевая продукция, то наборы FIRST и FOLLOW не могут иметь никакого общего элемента.$A$$Α \Rightarrow^* ε$$\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$

Итак, для данной грамматики:

1. У нас есть начиная с то время как и у них нет общих элементов.$\operatorname{FIRST}(AaAb) \cap \operatorname{FIRST}(BbBa) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(AaAb) = \{a\}$$\operatorname{FIRST}(BbBa) = \{b\}$
2. $\operatorname{FIRST}(A) \cap \operatorname{FOLLOW}A) = \emptyset$ так , а , и теперь начиная с то время какСЛЕДУЮЩИЙ ( A ) = ∅ ПЕРВЫЙ ( B ) ∩ СЛЕДУЮЩИЙ ( B ) = ∅ ПЕРВЫЙ ( B ) = { ε } СЛЕДУЙТЕ ЗА ( B ) = { a , b $\operatorname{FIRST}(A) = \{a,b\}$$\operatorname{FOLLOW}(A) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(B) \cap \operatorname{FOLLOW}(B) = \emptyset$$\operatorname{FIRST}(B) = \{ε\}$$\operatorname{FOLLOW}(B) = \{a,b\}$ .

Что касается анализа SLR (1), я думаю, что он безупречен!

Ищите достаточное условие, которое делает грамматику LL (1) (подсказка: посмотрите на ПЕРВЫЕ множества).

Найдите необходимое условие, которому должны соответствовать все грамматики SLR (1) (подсказка: посмотрите на следующие СЛЕДУЮЩИЕ наборы).