Конструктивная версия разрешимости?

Сегодня за ланчем я поднял эту проблему со своими коллегами, и, к моему удивлению, аргумент Джеффа Э., что проблема разрешима, не убедил их ( вот тесно связанный пост о mathoverflow). Постановка проблемы, которую легче объяснить («это P = NP?»), Также разрешима: да или нет, и поэтому один из двух TM, которые всегда выводят эти ответы, решает проблему. Формально мы можем решить множество : либо машина, которая выводит 1 только для входа 1, а в противном случае $S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$решает, или машина, которая делает это для ввода .$2$

Один из них сводил это к сути этого возражения: если вот насколько слаб критерий разрешимости - что подразумевает, что каждый вопрос, который мы можем формализовать как язык, который мы можем показать как конечный, разрешим, - тогда мы должны формализовать критерий, который не создает никаких проблем с конечным числом возможных ответов, которые формализуемы таким образом, разрешимы. Хотя следующее, возможно, является более строгим критерием, я предположил, что, возможно, это можно уточнить, потребовав, чтобы решимость должна зависеть от возможности показать ТМ, в основном предлагая интуитивистский взгляд на этот вопрос (к которому я не склоняюсь - ни делаю любой из моих коллег, все они принимают закон исключенного среднего).

Были ли люди формализованы и, возможно, изучали конструктивную теорию разрешимости?

Я думаю, что вы пытаетесь задать вопрос: «Является ли теория вычислимости конструктивной?». И это интересный вопрос, как вы можете видеть из этого обсуждения в списке рассылки «Основы математики».

Неудивительно, что это было рассмотрено, так как многие теории рекурсии были разработаны людьми с конструктивной чувствительностью и наоборот. См., Например , книгу Бессона и почтенное Введение в метаматематику . Совершенно очевидно, что первые несколько глав теории рекурсии выживают, переходя в конструктивную обстановку с минимальными изменениями: например, теорема snm, теорема Райса или теоремы Клини о рекурсии выживают без изменений.

После первых глав все становится немного сложнее. В частности, более высокие уровни арифметической иерархии обычно определяются понятием истины. В частности, широко используемые теоремы, такие как теорема о низком базисе, кажутся явно неконструктивными.

Возможно, более прагматичный ответ, однако, заключается в том, что эти «парадоксально вычислимые языки» являются просто идиосинкразией, которую можно (и нужно!) Изучать очень долго, как неизмеримые наборы действительных чисел, но что после того, как первоначальный сюрприз стал Преодолев, можно перейти к более интересным вещам.

В классической логике каждое утверждение является верным или ложным в любой данной модели. Например, любое утверждение первого порядка о натуральных числах либо истинно, либо ложно в «реальном мире» (известном в этом контексте как истинная арифметика ). Тогда как быть с теоремой Гёделя о неполноте? Он просто утверждает, что никакая рекурсивно перечислимая аксиоматизация истинной арифметики не завершена.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$пока один не найден, а затем продолжается соответственно. Мы можем доказать, что эта машина принимает ваш язык, хотя мы до сих пор не знаем точно, что это за язык!

$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(отказ от ответственности, нечеткий ответ на нечеткий вопрос, который, возможно, лучше подходит для этой теории ). Конструктивность - это «большое дело» в теоретической математике, но это проявляется особенно в непрерывных контекстах, таких как полуизвестный парадокс Банаха-Тарского . эти парадоксы вообще , кажется, не показали в «более дискретном» CS « до сих пор» . Так что же такое (аналог / аналог) конструктивности в CS? ответ кажется не очень ясным. его концепция происходящий в математике исследований более чем CS и два не кажется, быть связаны друг с другом на этом конкретном затруднении слишком много « до сих пор» .

один из ответов заключается в том, что теория разрешимости фактически является вариацией конструктивности, т. е. это строгий метод определения того, какие множества вычислимы, а какие тесно связаны.

Конструктивность в глубине души имеет дело с некоторыми вопросами "независимости от ZFC", и эти области подробно рассматриваются в этой статье Ааронсоном по сравнению с NP. Является ли P против NP формально независимой? ,

на самом деле не показано, что «парадоксы», кажется, указывают на проблемы конструктивности, но можно принять это как грубое руководство для грубой аналогии, как в статье Ааронсона, где он рассматривает, например, результаты оракула, которые, кажется, имеют некоторый «парадоксальный» вкус, в частности, Бейкер Гилл Соловея 1975 результат , который существует оракулы и такое , что Р = NP и Р ^B ≠ NP ^В . другие парадоксальные, такие как thms - это теоремы Блюма о разрыве и ускорении .

также является ли простым совпадением то, что CS фокусируется на конструктивных функциях «время / пространство» в своих основных теоремах иерархии время / пространство? (что тогда исключает Blum-подобные парадоксы почти «по замыслу» ?)

Другой ответ заключается в том, что это находится в стадии активного расследования / исследования, например, как в этом выводе. Известно, что конструктивность связана с «большими кардиналами» в математике: выигрышные стратегии для бесконечных игр: от больших кардиналов до компьютерных наук / Ressayre.

Используя большую кардинальную аксиому «острых предметов», Мартин доказал аналитическую определенность: наличие выигрышной стратегии для одного из игроков в каждой бесконечной игре с идеальной информацией между двумя игроками, при условии, что выигрышный набор одного из игроков оказывается аналитическим. один. Я изменяю и дополняю его доказательство, чтобы получить новое доказательство теоремы Рабина, Буэки-Ландвебера, Гуревича-Харрингтона о конечной определенности состояний: существование выигрышной стратегии, вычисляемой конечным автоматом, когда выигрышные множества игрока сами по себе конечны государство принято.