Почему Radix Sort ?

В радикальной сортировке мы сначала сортируем по наименьшей значащей цифре, затем сортируем по второй наименьшей значащей цифре и так далее и получаем отсортированный список.

Теперь, если у нас есть список из чисел, нам нужно бит, чтобы различать эти числа. Таким образом, количество проходов сортировки по основанию будет . Каждый проход занимает времени и, следовательно, время выполнения радикальной сортировки равно$n$$\log n$$\log n$$O(n)$$O(n \log n)$

Но хорошо известно, что это линейный алгоритм времени. Почему?

если у нас есть список из чисел, нам нужно записать n бит$n$$\log n$

Нет: если у нас есть список чисел от до 2 k - 1 , нам нужно k бит. Между k и log n вообще нет никакой связи .$0$$2^k - 1$$k$$k$$\log n$

Если все числа различны, то , и радикальная сортировка по разным числам, следовательно, имеет временную сложность Ω ( n log n ) . В общем, сложность радикальной сортировки равна Θ ( $\log n \ge k$$\Omega(n \log n)$ где n - количество элементов для сортировки, а k - количество битов в каждом элементе.$\Theta(n \, k)$$n$$k$

Сказать, что сложность радикальной сортировки равна означает брать фиксированный размер битов для чисел. Это подразумевает, что для достаточно большого n будет много повторяющихся значений.$O(n)$$n$

Существует общая теорема о том, что метод сортировки массива или списка, который работает путем сравнения двух элементов за один раз, не может работать быстрее, чем в худшем случае. Radix sort не работает при сравнении элементов, но работает тот же метод доказательства. Radix sort - это процесс принятия решения, чтобы определить, какую перестановку применить к массиву; есть n ! перестановки массива и радикальная сортировка принимает двоичные решения, т. е. решает, нужно ли поменять местами два элемента или нет на каждом этапе. После m двоичных решений радикальная сортировка может выбирать между 2 m перестановками. Чтобы достичь п ! возможные перестановки, необходимо, чтобы$\Theta(n \log n)$$n!$$m$$2^m$$n!$ .$m \ge \log (n!) = \Theta(n \log n)$

В доказательстве, которое я не выписал выше, предполагается, что алгоритм должен работать в случае, когда элементы различны. Если априори известно, что элементы не все различны, то число потенциальных перестановок меньше полного , При сортировке k- битных чисел возможно иметь n различных элементов только при n ≤ 2 k ; в этом случае сложность радикальной сортировки действительно равна Ω ( n log n ) . Для больших значений n должны быть коллизии, что объясняет, как радикальная сортировка может иметь сложность, меньшую чем Θ $n!$$k$$n$$n \le 2^k$$\Omega(n \log n)$$n$ когда n > 2 k .$\Theta(n \log n)$$n \gt 2^k$

Будьте осторожны с анализом: что вы предполагаете, чтобы сортировка выполнялась за раз? Это потому, что каждая из ваших цифр находится в диапазоне от 0 до k - 1 , что означает, что ваши цифры могут принимать k возможных значений. Вам нужен стабильный алгоритм сортировки, так что вы можете, например, выбрать сортировку отсчета. Подсчет сортировки выполняется за Θ ( n + k ) времени. Если k = O ( n ) , подсчет сортировки выполняется за линейное время.$O(n)$$0$$k-1$$k$$\Theta(n+k)$$k=O(n)$

Каждая из ваших строк или чисел имеет цифры. Как вы говорите, вы делаете D проходов над ними. Следовательно, радикальная сортировка явно выполняется за время Θ ( d ( n + k ) ) . Но если мы считаем d постоянным и k = O ( n ) , мы видим, что радикальная сортировка выполняется за линейное время.$d$$d$$\Theta(d(n+k))$$d$$k=O(n)$

Я думаю, что предположение неверно. Вы можете выполнить основную сортировку с числами, например, в шестнадцатеричном. Таким образом, на каждом шаге вы разбиваете массив чисел на 16 сегментов.$k = \log_2(n)$$16$