Куча - дает алгоритм времени

15

Скорее всего, этот вопрос задавался раньше. Это из CLRS (2-е изд) проблема 6.5-8 -

Задайте алгоритм времени для объединения k отсортированных списков в один отсортированный список, где n - общее количество элементов во всех входных списках. (Подсказка: используйте минимальную кучу для слияния k- way.)O(nlgk)knk

Поскольку существует отсортированных списков и всего n значений, давайте предположим, что каждый список содержит nkn чисел, причем каждый из списков отсортирован в порядке возрастания, а результаты также будут сохранены в порядке возрастания.nК

Мой псевдокод выглядит так -

    list[k]   ; k sorted lists
    heap[k]   ; an auxiliary array to hold the min-heap
    result[n] ; array to store the sorted list
    for i := 1 to k                 ; O(k)
    do
        heap[i] := GET-MIN(list[i]) ; pick the first element 
                                    ; and keeps track of the current index - O(1)
    done
    BUILD-MIN-HEAP(heap) ; build the min-heap - O(k)
    for i := 1 to n
    do
        array[i] := EXTRACT-MIN(heap)   ; store the min - O(logk)
        nextMin := GET-MIN(list[1])     ; get the next element from the list 1 - O(1)
        ; find the minimum value from the top of k lists - O(k)
        for j := 2 to k                 
        do
            if GET-MIN(list[j]) < nextMin
                nextMin := GET-MIN(list[j]) 
        done
        ; insert the next minimum into the heap - O(logk)
        MIN-HEAP-INSERT(heap, nextMin)
    done

Моя общая сложность становится . Я не мог найти способ избежать петли O ( k ) внутри O ( n )O(k)+O(k)+O(n(k+2lgk))O(nk+nlgk)O(nk)O(k)O(n)цикл, чтобы найти следующий минимальный элемент из k списков. Есть ли другой путь? Как получить алгоритм ?O(nlgk)

ramgorur
источник

Ответы:

13

Цель кучи - дать вам минимум, поэтому я не уверен, какова цель этого цикла for for j := 2 to k.

Мой взгляд на псевдокод:

lists[k][?]      // input lists
c = 0            // index in result
result[n]        // output
heap[k]          // stores index and applicable list and uses list value for comparison
                 // if i is the index and k is the list
                 //   it has functions - insert(i, k) and deleteMin() which returns i,k
                 // the reason we use the index and the list, rather than just the value
                 //   is so that we can get the successor of any value

// populate the initial heap
for i = 1:k                   // runs O(k) times
  heap.insert(0, k)           // O(log k)

// keep doing this - delete the minimum, insert the next value from that list into the heap
while !heap.empty()           // runs O(n) times
  i,k = heap.deleteMin();     // O(log k)
  result[c++] = lists[k][i]
  i++
  if (i < lists[k].length)    // insert only if not end-of-list
    heap.insert(i, k)         // O(log k)

Таким образом, общая сложность времени составляет O(klogk+n2logk)=O(nlogk)

Вы также можете вместо deleteMinи insertиметь getMin( ) и ( O ( log k ) ), что уменьшит постоянный коэффициент, но не сложность.O(1)incrementIndexO(logk)

Пример:
(для ясности используется значение, а не index и list index и heap, представленные в виде отсортированного массива)

Input: [1, 10, 15], [4, 5, 6], [7, 8, 9]

Initial heap: [1, 4, 7]

Delete 1, insert 10
Result: [1]
Heap: [4, 7, 10]

Delete 4, insert 5
Result: [1, 4]
Heap: [5, 7, 10]

Delete 5, insert 6
Result: [1, 4, 5]
Heap: [6, 7, 10]

Delete 6, insert nothing
Result: [1, 4, 5, 6]
Heap: [7, 10]

Delete 7, insert 8
Result: [1, 4, 5, 6, 7]
Heap: [8, 10]

Delete 8, insert 9
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8]
Heap: [9, 10]

Delete 9, insert nothing
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
Heap: [10]

Delete 10, insert 15
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
Heap: [15]

Delete 15, insert nothing
Result: [1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15]
Heap: []

Done
Dukeling
источник
Допустим, у вас есть эти списки для слияния: list [1] = [1, 10, 15], list [2] = [4, 5, 6] и list [3] = [7, 8, 9]. На первой итерации значение из кучи будет равно 1, а затем ваш алгоритм будет вставлять 10 в кучу, но 10 - это наибольшее значение из всех списков - как этого избежать?
ramgorur
@ramgorur Неважно, что 10 в куче. 4,5,6,7,8 и 9 будут обработаны до этого, так как мы всегда получаем наименьшее значение из кучи и продолжаем заменять удаленные значения следующим элементом из того же списка. Отредактированный ответ с примером.
Dukeling
хорошо, если это так, нам не нужно на самом деле помнить тот же список для следующего нажатия элемента. Мы можем каждый раз выбирать случайный список и помещать следующий элемент в кучу - что также предположительно даст тот же результат, я прав? Или есть какая-то другая особая причина следовать тому же аргументу списка ?
ramgorur
При удалении 4, если вы выбираете случайный список, вы можете в конечном итоге вставить 8, таким образом, будет куча [7, 8, 10], из которой вы будете вставлять 7вместо 5набора результатов, что будет неправильно.
Dukeling
Комментарий @ AshwaniGautam к другому ответу уместен: создание кучи изначально может быть выполнено за время . O(k)
Рафаэль
13

n/k

Что касается вашей проблемы, следующий алгоритм должен сделать свое дело:

  1. HklmO(klgk)
  2. i1n
    • mHresult[i]O(lgk)
    • mlmHO(lgk)

O(klgk+nlgk)=O(nlgk)result

iresultHiresult[1..i]i

resultHresultr1lr1l[1]r1r1l[1]<r1r1result

iriHHmllHresultrimll

result[1..n]

Корнелиус Бранд
источник
На самом деле более трудная временная сложность будет O (K + 2 * NlogK) = O (NlogK) . O (K) жестче, чем O (KlogK), когда делает кучу. Обратитесь к этому для дальнейших разъяснений.
Ашвани Гаутам
O(k)O(klogk)k