Существует ли двоичный код длиной 6, размером 32 и расстоянием 2?

9

Задача состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть существование , st, ; ; d (c_i, c_j) \ geq2,1 \ leq i <j \ leq32 . ( d обозначает расстояние Хэмминга)С|с|знак равно6,сС|С|знак равно32d(ся,сJ)2,1я<J32d

Я пытался построить удовлетворительный код. Лучшее, что я могу получить, это позволить Сзнак равноС'×С' , конкатенация С'знак равно{000,011,110,101} , размер 16. 32 - теоретическая верхняя граница размера, теперь я надеваю не знаю, что делать дальше, чтобы решить проблему.

Miangu
источник

Ответы:

9

Да, такой набор есть. Вы на правильном пути, чтобы найти следующий пример.

Пусть . Вы можете проверить следующее.Сзнак равно{с:|с|знак равно6 и есть четное число 1 в с}

  • |С|знак равно32 .
  • d(U,v)2 для всех , . (На самом деле, или 4 или 6.)U,vСUvd(U,v)знак равно2

Вот четыре связанных упражнения, перечисленных в порядке возрастания сложности. Как и в вопросе, речь идет только о двоичном коде.

Упражнение 1. Приведите еще один пример набора из 32 слов длиной 6 и парным расстоянием не менее 2.

Упражнение 2. Покажите, что существует только два таких набора, как указано в ответе и в упражнении 1.

Упражнение 3. Обобщите вышеизложенное для слов любой заданной длины и попарного расстояния не менее 2. (Подсказка, .)32знак равно26-1

Упражнение 4. (дальнейшее обобщение указано в ответе Ювала) Если - максимальный размер кода длины и минимального попарного расстояния , то .A(N,d)NdA(d,2d)=A(n1,2d1)

Джон Л.
источник
1
Я думаю, что также может быть 6, особенно для и , как и и потому что оба имеют четное число 1. Или я что-то упустил? u = 000000 v = 111111 u C v Cd(u,v)u=000000v=111111uCvC
siegi
@ siegi, спасибо. Обновлено.
Джон Л.
@Miangu мой ответ полезен? Рассматривали ли вы принять это?
Джон Л.
7

Все слова четной четности из линейного кода с кодовыми словами и минимальным расстоянием .2n12

В более общем смысле, если - это максимальный размер кода длины и минимального расстояния , то .A2(n,d)ndA2(n,2d)=A2(n1,2d1)

Юваль Фильмус
источник
1
Хороший факт, проголосовал. Кстати, почему бы не просто вместо ? О, две буквы. A(N,d)A2(N,d)
Джон Л.
1
Подстрочный индекс обозначает поле . F2
Юваль