Существует ли двоичный код длиной 6, размером 32 и расстоянием 2?
9
Задача состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть существование , st, ; ; d (c_i, c_j) \ geq2,1 \ leq i <j \ leq32 . ( d обозначает расстояние Хэмминга)С|с | = 6 , ∀ c ∈ C| С|= 32d( ся, сJ) ≥ 2 , 1 ≤ i < j ≤ 32d
Я пытался построить удовлетворительный код. Лучшее, что я могу получить, это позволить С= C'× C' , конкатенация С'= { 000 , 011 , 110 , 101 } , размер 16. 32 - теоретическая верхняя граница размера, теперь я надеваю не знаю, что делать дальше, чтобы решить проблему.
Да, такой набор есть. Вы на правильном пути, чтобы найти следующий пример.
Пусть . Вы можете проверить следующее.С= { c : | с | = 6 и четное число 1 в c }
| С| =32 .
d( u , v ) ≥ 2 для всех , . (На самом деле, или 4 или 6.)u , v ∈ Cты ≠ вd( u , v ) = 2
Вот четыре связанных упражнения, перечисленных в порядке возрастания сложности. Как и в вопросе, речь идет только о двоичном коде.
Упражнение 1. Приведите еще один пример набора из 32 слов длиной 6 и парным расстоянием не менее 2.
Упражнение 2. Покажите, что существует только два таких набора, как указано в ответе и в упражнении 1.
Упражнение 3. Обобщите вышеизложенное для слов любой заданной длины и попарного расстояния не менее 2. (Подсказка, .)32 = 26 - 1
Упражнение 4. (дальнейшее обобщение указано в ответе Ювала) Если - максимальный размер кода длины и минимального попарного расстояния , то .A ( n , d)NdА ( д, 2 д)=A(n−1,2d−1)
Я думаю, что также может быть 6, особенно для и , как и и потому что оба имеют четное число 1. Или я что-то упустил? u = 000000 v = 111111 u ∈ C v ∈ Cd(u,v)u=000000v=111111u∈Cv∈C
siegi
@ siegi, спасибо. Обновлено.
Джон Л.
@Miangu мой ответ полезен? Рассматривали ли вы принять это?
Джон Л.
7
Все слова четной четности из линейного кода с кодовыми словами и минимальным расстоянием .2n−12
В более общем смысле, если - это максимальный размер кода длины и минимального расстояния , то .A2(n,d)ndA2(n,2d)=A2(n−1,2d−1)
Все слова четной четности из линейного кода с кодовыми словами и минимальным расстоянием .2n−1 2
В более общем смысле, если - это максимальный размер кода длины и минимального расстояния , то .A2(n,d) n d A2(n,2d)=A2(n−1,2d−1)
источник