Девятый числитель

26

Вы можете создать список всех рациональных чисел 0 <r ≤ 1, перечислив их упорядоченные сначала по знаменателю, а затем по числителю:

1  1  1  2  1  3  1  2  3  4  1  5  1  2  3  4  5
-  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -
1  2  3  3  4  4  5  5  5  5  6  6  7  7  7  7  7

Обратите внимание, что мы пропускаем любое рациональное число, которое уже встречалось ранее. Например, 2/4 пропущено, потому что мы уже перечислили 1/2.

В этом соревновании нас интересуют только числители. Взглянув на приведенный выше список, напишите функцию или программу, в которой положительное целое число n возвращает n-й числитель из списка.

Testcases:

1 -> 1
2 -> 1
3 -> 1
4 -> 2
5 -> 1
6 -> 3
7 -> 1
8 -> 2
9 -> 3
50 -> 4
80 -> 15
code-golf rational-numbers orlp
источник
частично релевантный OEIS, может быть полезным
Zwei
2
На самом деле просто список обоснований в(0,1]
Роберт Фрейзер
@RobertFraser Хороший вопрос.
orlp

Ответы:

7

MATL , 17 13 байт

:tt!/XR6#uG))

Попробуйте онлайн! Или проверьте все тестовые случаи .

Размер ввода может быть ограничен точностью с плавающей запятой. Все тесты дают правильный результат.

объяснение

Это генерирует все дроби k/mс k, mв [1 2 ...n]виде n× nматрицы. Строка указывает числитель, а столбец - знаменатель. На самом деле матричная запись содержит обратную дробь m/kвместо k/m, но это не имеет значения и может быть проигнорировано в остальной части объяснения.

Матричные записи неявно считаются отсортированными в порядке столбцов. В этом случае это соответствует требуемому порядку: знаменатель, затем числитель.

Три типа записей должны быть проигнорированы из этой матрицы:

  1. Записи k/m, k>mкоторые имеют то же значение, что и предыдущая запись (например, 2/4игнорируются, потому что они совпадают с 1/2)
  2. Записи k/k, k>1. Записи, числитель которых превышает знаменатель
  3. Записи k/m, k<m(они не являются частью этой проблемы).

Игнорирование записей осуществляется с помощью uniqueфункции, которая стабильно удаляет повторяющиеся значения и выводит индексы сохранившихся записей. При этом записи типа 1 выше автоматически удаляются. Для работы с типами 2 и 3, записи матрицы по диагонали и ниже установлены в 0. Таким образом, будут удалены все нулевые записи, кроме первой (соответствующей действительной дроби 1/1).

Рассмотрим ввод 4в качестве примера.

:     % Input n implicitly. Push range [1 2 ...n]
      % STACK: [1 2 3 4]
t     % Duplicate
      % STACK: [1 2 3 4], [1 2 3 4]
t!    % Duplicate and transpose
      % STACK: [1 2 3 4], [1 2 3 4], [1; 2; 3; 4]
/     % Divide element-wise with broadcast: gives matrix with all pairs
      % STACK: [1 2 3 4], [1       2       3       4;
                           0.5000  1       1.5000  2;
                           0.3333  0.6667  1       1.3333;
                           0.2500  0.5000  0.7500  1     ]
XR    % Upper triangular part above the diagonal. This sets to 0 all entries
      % corresponding to fractions that equal or exceed 1. (Since the matrix
      % actually contains the inverse fractions, nonzero entries will contain
      % values greater than 1)
      % STACK: [1 2 3 4], [0       2       3       4;
                           0       0       1.5000  2;
                           0       0       0       1.3333;
                           0       0       0       0     ]
6#u   % Indices of first appearance of unique elements
      % STACK: [1 2 3 4], [1; 5; 9; 10; 13; 15]
G     % Push input n again
      % STACK: [1 2 3 4], [1; 5; 9; 10; 13; 15], 4
)     % Index: get the n-th entry from the array of indices of unique elements
      % STACK: [1 2 3 4], 10
)     % Index (modular): get the corresponding real part. Display implicitly
      % STACK: 2
Луис Мендо
источник
4

Желе , 11 9 байт

gRỊTµ€Fị@

Попробуйте онлайн! или проверьте все контрольные примеры .

Как это работает

gRỊTµ€Fị@  Main link. Argument: n

    µ€     Map the monadic chain to the left over [1, ..., n]; for each k:
 R           Range; yield [1, ..., k].
g            Compute the GCD of k and each j in [1, ..., k].
  Ị          Insignificant; yield 1 for 1; 0 for 2, ..., k.
   T         Truth; yield all indices of 1's, i.e., all coprimes with k.
      F      Flatten the resulting 2D array.
       ị@    At-index swapped; return the n-th element.
Деннис
источник
4

Mathematica, 53 байта

(Join@@Select[Range@a,a~GCD~#==1&]~Table~{a,#})[[#]]&
Юнг Хван Мин
источник
4

Haskell, 40 байт

((0:[n|d<-[1..],n<-[1..d],gcd n d<2])!!)

Анонимная функция. Довольно просто: использует понимание списка для создания бесконечного списка, циклически перебирая все числители nи относительно простые знаменатели d. Чтобы преобразовать нулевой индекс в одноиндексный, мы добавляем a 0, который занимает 4байты.

XNOR
источник
n<-[0..d]добавляет ноль более коротким способом и сохраняет 4 байта
Angs
1

Pyth, 11 байт

@sm.mibdhdS

Попробуйте онлайн: демонстрация

Объяснение:

@sm.mibdhdSQQ   implicit Qs at the end (Q = input number)
  m       SQ    map each denominator d from [1, 2, ..., Q] to:
   .m   hd        select the numerators b from [0, 1, ..., d]
     ibd             for which gcd(b, d) == 1 (which is the smallest possible gcd)
                  this gives [0, 1] for d=1, [1] for d=2, [1,2] for d=3, ...
 s              combine all lists to a big one
@           Q   print the Qth element
Jakube
источник
1

На самом деле , 15 байтов

Этот ответ основан на ответе Желе Денниса . Я использую HNв конце, чтобы избежать проблем с 0-индексацией и необходимостью уменьшить n и поменять местами в начале или конце. Hполучает первые nчлены списка числителей, которые Nполучаются, и получает последний член этого выбора, т. nе. числитель, и все это без возни со стековыми операциями. Предложения по игре в гольф приветствуются. Попробуйте онлайн!

;R`;r;)♀┤░`MΣHN

Ungolfing

          Implicit input n.
;         Duplicate n. Leave one n on the stack for getting the nth numerator at the end.
R`...`M   Map the following function over the range [1..n]. Variable m.
  ;         Duplicate m. Leave one m on the stack for checking coprimality later.
  r         Push the range [0...m].
  ;)        Move a duplicate of range [0...m] to BOS.
  ♀┤        Push a list of 0's and 1's where a 1 denotes a number coprime to m (a numerator),
             and 0 denotes a fraction we have counted before.
  ░         Filter the second list (range [0...m]) 
             by the truthy values in the first list (our coprime check).
Σ         Sum all of the lists in the result into one list.
H         Push result[:n] using the duplicate of n from the beginning of the program.
N         Push result[:n][:-1], which is the same as result[n-1], our nth numerator.
          Implicit return.
Sherlock9
источник
1

Python, 111 110 байт

from fractions import*
def g(n):
 x,y=1,1
 while n>1:
  x+=1
  if x>y:x,y=1,y+1
  if gcd(x,y)<2:n-=1
 return x

Фракция представлена ​​с x/y. Аргумент nуменьшается при обнаружении новой подходящей дроби ( gcdиз fractionsпроверок можно уменьшить дробь). В каждой итерации цикла, xувеличивается, а затем, если x>=y, новая серия фракций с y+1запускается, >из-за «особый случай» (x,y)=(2,1), чтобы golfed x>y.

Я уверен, что это может быть больше в гольфе, но мне не хватает, где я мог бы улучшить его. Нашел это.

Ссылка на код и тестовые случаи

AlexRacer
источник
0

JavaScript (ES6), 95 байт

n=>[...Array(n*n).keys()].filter(i=>i%n<=i/n&g(i%n+1,i/n+1|0)<2,g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a)[n-1]%n+1

Работает, генерируя все n²дроби с числителями и знаменателями из 1to nи отфильтровывая те, которые больше 1или ранее видели, затем беря nth.

Нил
источник
0

Perl, 82 + 2 ( -plфлаг) = 84 байта

perl -ple '{{$d>$n?($n++,(grep!($n%$_||$d%$_),2..$d)&&redo):($n=1,$d++)}++$i!=$_&&redo;$_=$n}'

Ungolfed:

while (<>) {  # -p flag
    chomp();  # -l flag

    my $i = 0;
    my $n = 0;
    my $d = 0;

    for (;;) {
        for (;;) {
            if ($d <= $n) {
                $n = 1;
                $d++;
                last;
            }
            else {
                $n++;
                last unless grep { !($n % $_) && !($d % $_) } 2 .. $d;
            }
        }
        if (++$i == $_) {
            $_ = $n;
            last;
        }
    }
}
continue {
    print($_, "\n");
}
Денис Ибаев
источник
0

JavaScript (ES6), 76

x=>eval("for(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a,d=n=0;x;g(n,d)-1||--x)n=++n>d?(++d,1):n")

Меньше гольфа

x=>{
  g=(a,b) => b ? g(b,a%b) : a; // gcd
  for (d=n=0; x; )
  {
     ++n;
     if (n > d)
     {
        ++d;
        n=1;
     }
     if (g(n,d) == 1) // if the fraction is irreducible 
        --x;
  }
  return n
}

Тест

f=
x=>eval("for(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a,d=n=0;x;g(n,d)-1||--x)n=++n>d?(d++,1):n")

;`1 -> 1
2 -> 1
3 -> 1
4 -> 2
5 -> 1
6 -> 3
7 -> 1
8 -> 2
9 -> 3
50 -> 4
80 -> 15`.split`\n`.forEach(
  r=>{
    var [a,k]=r.match(/\d+/g),r=f(a)
    console.log(r==k?'OK':'KO',a,r)
  }
)
Развернуть фрагмент

edc65
источник
0

Clojure, 85 байт

#(if(= 1 %)1(numerator(nth(distinct(for[i(range)j(range 1(inc i))](/ j i)))(dec %))))

Использует понимание списка для создания списка всех рациональных, а затем фильтрует его, чтобы получить только отдельные. Берет nthэлемент списка и возвращает его числитель. Также для первого элемента необходимо отдельное условие, потому что Clojure не может взять числитель целого числа. (по любой причине, считая, что целое число не является Rational - https://goo.gl/XETLo2 )

Посмотреть это онлайн - https://ideone.com/8gNZEB

cliffroot
источник