Многие важные темы в абстрактной алгебре включают бинарную функцию, действующую на множестве. Ряд свойств таких функций был определен при исследовании таких тем.
Ваша задача будет состоять в том, чтобы определить, обладает ли данная двоичная функция в данном домене пятью из этих свойств.
свойства
Бинарная функция закрывается, если все возможные выходные данные находятся в домене.
Бинарная функция является ассоциативной, если порядок ее применения к серии входов не влияет на результат. То есть $ассоциативен, если (a $ b) $ cвсегда равен a $ (b $ c). Обратите внимание, что поскольку значение (a $ b)используется в качестве входных данных, ассоциативные функции должны быть закрыты.
Бинарная функция является коммутативной, если изменение порядка входов не меняет результат. Другими словами, если a $ bвсегда равны b $ a.
Бинарная функция имеет элемент тождественности, если eв домене существует какой-либо элемент, такой что a $ e = a = e $ aдля всех aв домене.
Бинарная функция является идемпотентной, если ее применение к двум одинаковым входам дает это число в качестве выхода. Другими словами, если a $ a = aдля всех aв домене.
вход
Вам будет дана функция в виде матрицы, а доменом функции будут числа 0 ... n-1, где n- длина стороны матрицы.
Значение (a $ b)кодируется в матрице как элемент th- aй строки b. Если входная матрица есть Q, то a $ b=Q[a][b]
Например, функция возведения в степень ( **в Python) в домене [0, 1, 2]кодируется как:
[[1, 0, 0]
[1, 1, 1]
[1, 2, 4]]
Левый и правый домены одинаковы, поэтому матрица всегда будет квадратной.
Вы можете использовать любой удобный матричный формат в качестве входных данных, например, список списков, один список в основном порядке строк или столбцов, объект родной матрицы вашего языка и т. Д. Однако вы не можете принимать функцию непосредственно в качестве ввода.
Для простоты все элементы матрицы будут целыми числами. Вы можете предположить, что они соответствуют целочисленному типу вашего языка.
Выход
Вы можете указать, какие из перечисленных выше свойств хранятся в любом выбранном вами формате, включая список логических значений, строку с различным символом для каждого свойства и т. Д. Однако для каждого из 24 возможных подмножеств должен быть отдельный уникальный вывод. свойств. Этот вывод должен быть легко читаемым человеком.
Примеры
Максимальная функция на домене n = 4:
[[0, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 3]
[2, 2, 2, 3]
[3, 3, 3, 3]]
Эта функция обладает свойствами замыкания, ассоциативности, коммутативности, тождественности и идемпотентности.
Функция возведения в степень в области n = 3:
[[1, 0, 0]
[1, 1, 1]
[1, 2, 4]]
Эта функция не имеет ни одного из перечисленных выше свойств.
Функция сложения на домене n = 3:
[[0, 1, 2]
[1, 2, 3]
[2, 3, 4]]
Эта функция обладает свойствами коммутативности и тождественности.
K комбинатор в области n = 3:
[[0, 0, 0]
[1, 1, 1]
[2, 2, 2]]
Эта функция обладает свойствами замыкания, ассоциативности и идемпотентности.
Функция абсолютной разности в области n = 3:
[[0, 1, 2]
[1, 0, 1]
[2, 1, 0]]
Эта функция обладает свойствами замыкания, коммутативности и идентичности.
Функция среднего, округленная до четного, в области n = 3:
[[0, 0, 1]
[0, 1, 2]
[1, 2, 2]]
Эта функция обладает свойствами замыкания, коммутативности, тождественности и идемпотентности.
Функция равенства в области n = 3:
[[1, 0, 0]
[0, 1, 0]
[0, 0, 1]]
Эта функция обладает свойствами замыкания и коммутативности.
Вызов
Это код гольф. Применяются стандартные лазейки . Меньше байтов побеждает.
c=all(l>)?[i%i|i<-b]==b.CJam, 95 байт
Печатает подпоследовательность
*AC1I.*является символом для замыкания ,Aдля ассоциативного ,Cдля коммутативного ,1для тождественного иIдля идемпотентного .Входной массив читается
q~и сохраняется в A (:A).закрытие
Если все (
:*) элементы в matrix (Ae_) меньше,f<чем B = size (A) (A,:B), выведите a*('**).Ассоциативность
Создайте все тройки в домене (
B3m*). Мы печатаем,Aесли все они удовлетворяют условию ({...}%:*'A*).Условие состоит в том, что для некоторой тройки
[i j k], сворачивание влево этого списка с помощью A (_{A==}*) и сворачивание влево его reverse[k j i](\W%) с помощью A op ({Az==}*), перевернутая версияA, равны (=).Перестановочность
Должна быть равна его транспонирование:
A_z=. Если это так, мы печатаемC('C=).тождественность
Идентификационные данные обязательно уникальны, поэтому мы можем напечатать только один
1.идемпотент
Проверьте, равна ли диагональ
B,. Если это так, распечатайтеI.источник
Матлаб, 226
Важно отметить, что незакрытый подразумевает неассоциативность. Многие из этих свойств можно легко проверить с помощью некоторых свойств матрицы:
Ввод через стандартную запись Matlab:
[a,b;c,d]или[[a,b];[c,d]]или и[a b;c d]т. Д.Выходными данными является вектор из нулей, 1 = истина, 0 = ложь, для каждого из свойств в данном порядке.
Полный код:
источник
JavaScript (ES6) 165
Анонимная функция, возвращающая массив с пятью значениями 0/1 в порядке закрытия, ассоциативности, коммутативности, идентичности и идемпотентности.
Меньше гольфа
Тестовое задание
источник