Python 2
Таблица до n = 64
, проверенная оптимальная с грубой силой до n = 32
:
4 4 0001
8 4 00010001
12 6 000001010011
16 8 0000010011101011
20 10 00010001011110011010
24 12 000101001000111110110111
28 14 0001011000010011101011111011
32 14 00001101000111011101101011110010
36 18 001000101001000111110011010110111000
40 20 0010101110001101101111110100011100100100
44 18 00010000011100100011110110110101011101101111
48 24 001011011001010111111001110000100110101000000110
52 26 0011010111000100111011011111001010001110100001001000
56 28 00100111111101010110001100001101100000001010100111001011
60 30 000001101101100011100101011101111110010010111100011010100010
64 32 0001100011110101111111010010011011100111000010101000001011011001
где 0
представляет -1
. Если n
не делится на 4, то m = 1
оптимально. Генерируется с использованием этого кода (или его небольших вариаций), но с большим количеством испытаний для более высокого n
:
from random import *
seed(10)
trials=10000
def calcm(x,n):
m=1
y=x
while 1:
y=((y&1)<<(n-1))|(y>>1)
if bin(x^y).count('1')!=n/2:
return m
m+=1
def hillclimb(x,n,ns):
bestm=calcm(x,n)
while 1:
cands=[]
for pos in ns:
xx=x^(1<<pos)
m=calcm(xx,n)
if m>bestm:
bestm=m
cands=[xx]
elif cands and m==bestm:
cands+=[xx]
if not cands:
break
x=choice(cands)
return x,bestm
def approx(n):
if n<10: return brute(n)
bestm=1
bestx=0
for trial in xrange(1,trials+1):
if not trial&16383:
print bestm,bin((1<<n)|bestx)[3:]
if not trial&1:
x=randint(0,(1<<(n/2-2))-1)
x=(x<<(n/2)) | (((1<<(n/2))-1)^x)
ns=range(n/2-2)
if not trial&7:
adj=randint(1,5)
x^=((1<<adj)-1)<<randint(0,n/2-adj)
else:
x=randint(0,(1<<(n-2))-1)
ns=range(n-2)
x,m=hillclimb(x,n,ns)
if m>bestm:
bestm=m
bestx=x
return bestm,bestx
def brute(n):
bestm=1
bestx=0
for x in xrange(1<<(n-2)):
m=calcm(x,n)
if m>bestm:
bestm=m
bestx=x
return bestm,bestx
for n in xrange(4,101,4):
m,x=approx(n)
print n,m,bin((1<<n)|x)[3:]
Подход заключается в простом рандомизированном поиске с восхождением на гору, используя преимущества схемы, замеченной для маленьких n
. Шаблон заключается в том, что для оптимальности m
вторая половина первого ряда часто имеет небольшое расстояние редактирования от (побитового) отрицания первой половины. Результаты для приведенного выше кода хороши для малого, n
но начинают ухудшаться вскоре после того, как грубая сила становится невозможной; Я был бы рад видеть лучший подход.
Некоторые наблюдения:
- Когда
n
нечетно, m = 1
оптимально, потому что нечетное число единиц и отрицательных не может суммироваться до нуля. (Ортогональное означает, что скалярное произведение равно нулю.)
- Когда
n = 4k + 2
, m = 1
является оптимальным, потому что для того, чтобы m >= 2
мы должны были иметь точные n/2
обращения знака среди {(a1,a2), (a2,a3), ... (a{n-1},an), (an,a1)}
, и подразумевалось бы нечетное число обращений знака a1 = -a1
.
- Точечное произведение двух рядов
i
и j
в круговой матрице определяется как abs(i-j)
. Например, если row1 . row2 = 0
тогда row4 . row5 = 0
. Это потому, что пары элементов для точечного произведения одинаковы, только что повернуты.
- Следовательно, для проверки взаимной ортогональности нам нужно только проверить последовательные строки по первому ряду.
- Если мы представим строку в виде двоичной строки с
0
вместо -1
, мы можем проверить ортогональность двух строк, взяв побитовый xor и сравнив попконт с n/2
.
- Мы можем произвольно исправить первые два элемента первой строки, потому что (1) отрицание матрицы не влияет на то, равны ли произведения точек нулю, и (2) мы знаем, что должно быть как минимум два соседних элемента с одинаковым знаком и два смежные элементы с отличающимся знаком, поэтому мы можем вращать, чтобы разместить желаемую пару в начале.
- Решение
(n0, m0)
автоматически даст решения (k * n0, m0)
для произвольного k > 1
, путем (многократного) объединения первой строки с самим собой. Следствием является то, что мы можем легко получить m = 4
для любого n
делится на 4.
Естественно предположить, что n/2
это жесткая верхняя граница, m
когда n > 4
, но я не знаю, как это будет доказано.