Задний план

Для этой задачи «метапоследовательность» будет определяться как последовательность чисел, где будут увеличиваться не только сами числа, но также и приращение, и приращение будет увеличиваться при увеличении значения и т. Д.

Например, метапоследовательность уровня 3 будет начинаться как:

1 2 4 8 15 26 42 64 93 130 176

потому что:

    1 2 3  4  5  6  7  8   9       >-|
      ↓+↑ = 7                        | Increases by the amount above each time
  1 2 4 7  11 16 22 29 37  46  >-| <-|
                                 | Increases by the amount above each time
1 2 4 8 15 26 42 64 93 130 176 <-|

Вызов

Учитывая положительное целое число, выведите первые двадцать элементов метапоследовательности этого уровня.

Контрольные примеры

Вход: 3Выход:[ 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, 1160 ]

Вход: 1Выход:[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ]

Вход: 5Выход:[ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 120, 219, 382, 638, 1024, 1586, 2380, 3473, 4944, 6885, 9402, 12616, 16664 ]

Вход: 13Выход:[ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16383, 32752, 65399, 130238, 258096, 507624 ]

Как вы можете понять, первые элементы $t+1$ каждой последовательности уровня являются первыми степенями 2 ...$t$$t+1$

правила

• Применяются стандартные лазейки
• Это код-гольф , поэтому выигрывает самый короткий ответ в байтах

Желе , 8 7 байт

20ḶcþŻS

Попробуйте онлайн!

   cþ       Table of binom(x,y) where:
20Ḷ           x = [0..19]
     Ż        y = [0..n]    e.g.  n=3 → [[1, 1, 1, 1, 1, 1,  …]
                                         [0, 1, 2, 3, 4, 5,  …]
                                         [0, 0, 1, 3, 6, 10, …]
                                         [0, 0, 0, 1, 4, 10, …]]

      S     Columnwise sum.           →  [1, 2, 4, 8, 15, 26, …]

Здесь используется понимание @ alephalpha, что

Wolfram Language (Mathematica) , 34 байта

0~Range~19~Binomial~i~Sum~{i,0,#}&

Попробуйте онлайн!

Метапоследовательность уровня является суммой первых элементов каждой строки треугольника Паскаля.$n$$n+1$

Haskell , 34 байта

(iterate(init.scanl(+)1)[1..20]!!)

Использует 0-индексированные входы ( f 4возвращает уровень 5.)

Haskell , 36 байт

f 1=[1..20]
f n=init$scanl(+)1$f$n-1

Попробуйте онлайн! Использует 1-индексированные входы ( f 5возвращает уровень 5.)

объяснение

scanl (+) 1это функция, которая принимает частичные суммы списка, начиная с (и предварительно) 1.

Например: scanl (+) 1 [20,300,4000]равно [1,21,321,4321].

Оказывается, что уровень - это просто эта функция, примененная раз к списку .$n$$(n-1)$$[1,2,3,\dots]$

(Или, что то же самое: раз в список всех.)$n$

Мы используем либо, initлибо [1..20-n]для учета увеличения списка на каждое приложение.$1$

Brain-Flak , 84 82 байта

<>((()()()()()){}){({}[((()))])}{}<>{({}[(())]<<>{({}<>({}))<>}<>{}{({}<>)<>}>)}<>

Попробуйте онлайн!

аннотированный

<>               Switch to the off stack
((()()()()()){}) Push 10
{({}[((()))])}{} Make twice that many 1s
<>               Switch back
{                While ...
({}[(())]<       Subtract one from the input and push 1
<>               Switch
{                For every x on the stack
({}<>({}))<>     Remove x and add it to a copy of the other TOS
}                End loop
<>{}             Remove 1 element to keep it 20
{({}<>)<>}       Copy everything back to the other stack
>)}<>            End scopes and loops

Попробуйте онлайн!

R , 36 байт

rowSums(outer(0:19,0:scan(),choose))

Попробуйте онлайн!

Спасибо @Giuseppe за предложение outer.

Это основано на подходе @alephalpha, описанном

Python 2 , 69 58 55 байт

Сохраненные байты благодаря ovs и Джо Кинг ; Кроме того, теперь он работает и в Python 3.

m=lambda t:[1+sum(m(t-1)[:n])for n in range(~t and 20)]

Попробуйте онлайн!

Математика

Пусть $a(t,n)$ будет термином $n^{th}$ (с индексами 0) последовательности на уровне $t$ . Небольшой анализ приводит к следующей формуле повторения:

Работая в обратном направлении, определим $a(0,n) = 1$ и $a(-1,n) = 0$ для всех $n$ . Эти определения упростят наш базовый случай.

Код

Мы определяем функцию, m(t)которая возвращает первые 20 элементов последовательности на уровне t. Если tнеотрицательный, мы используем рекурсивную формулу выше; если tесть -1, мы возвращаем пустой список. Пустой список работает как базовый случай, потому что результат каждого рекурсивного вызова нарезается ( [:n]), а затем суммируется. Нарезка пустого списка дает пустой список, а суммирование пустого списка дает 0. Это то результат , который мы хотим, так как ярус $-1$ должно вести себя как постоянная последовательность всех $0$ -х гг.

m=lambda t:                     # Define a function m(t):
 [          ]                   # List comprehension
     for n in range(         )  # for each n from 0 up to but not including...
                    ~n and 20   # 0 if n is -1, else 20:
  1+sum(          )             # a(t,n) = 1 + sum of
              [:n]              # the first n elements of
        m(t-1)                  # the previous tier (calculated recursively)

dzaima / APL REPL, 14 байтов

(+\1,19↑)⍣⎕⍳20

Попробуйте онлайн!

(+\1,19↑)⍣⎕⍳20
(       )⍣⎕     repeat the function below input times:
 +\               cumulative sum of
   1,             1 prepended to
     19↑          the first 19 items of the previous iteration
           ⍳20  starting with the first 20 integers

Пари / ГП , 39 байт

n->Vec(sum(i=1,n+1,(1/x-1)^-i)+O(x^21))

Попробуйте онлайн!

Пари / ГП , 40 байт

n->Vec((1-(1/x-1)^-n++)/(1-2*x)+O(x^20))

Попробуйте онлайн!

$n$

Perl 6 , 34 32 байта

-2 байта благодаря Джо Кингу

{(@,{[\+] 1,|.[^19]}...*)[$_+1]}

Попробуйте онлайн!

объяснение

{                              }  # Anonymous block
   ,                ...*  # Construct infinite sequence of sequences
  @  # Start with empty array
    {              }  # Compute next element as
     [\+]     # cumulative sum of
          1,  # one followed by
            |.[^19]  # first 19 elements of previous sequence
 (                      )[$_+1]  # Take (n+1)th element

Python 3.8 (предварительная версия) , 62 байта

f=lambda n:[t:=1]+[t:=t+n for n in(n and f(n-1)[:-1]or[0]*19)]

Попробуйте онлайн!

объяснение

f=lambda n:     # funtion takes a single argument
     [t:=1]     # This evaluates to [1] and assigns 1 to t
                # assignment expressions are a new feature of Python 3.8
       +        # concatenated to
     [  ....  ] # list comprehension

# The list comprehesion works together with the
# assignment expression as a scan function:
[t := t+n for n in it]
# This calculates all partial sums of it 
# (plus the initial value of t, which is 1 here)

# The list comprehension iterates
# over the first 19 entries of f(n-1)
# or over a list of zeros for n=0
 for n in (n and f(n-1)[:-1] or [0]*19)

R ( 63 47 байт)

function(n,k=0:19)2^k*pbeta(.5,pmax(k-n,0),n+1)

Демо онлайн . При этом используется регуляризованная неполная бета-функция , которая дает кумулятивную функцию распределения бинома, и, следовательно, просто требуется немного масштабирования, чтобы получить частичные суммы строк треугольника Паскаля.

Октава ( 66 46 байт)

@(n,k=0:19)2.^k.*betainc(.5,max(k-n,1E-9),n+1)

Демо онлайн . Точно такая же концепция, но немного страшнее, потому что betainc, в отличие от R pbeta, требуется, чтобы второй и третий аргументы были больше нуля.

Большое спасибо Джузеппе за помощь в векторизации, со значительной экономией.

Рубин, 74 байта

a=->b{c=[1];d=0;b==1?c=(1..20).to_a: 19.times{c<<c[d]+(a[b-1])[d];d+=1};c}

Безголовая версия:

def seq num
    ary = [1]
    index = 0
    if num == 1
        ary = (1..20).to_a
    else
        19.times{ary << ary[index]+seq(num-1)[index]; index+=1}
    end
    return ary
end

Довольно ресурсоемкий - онлайн-версия не может рассчитать 13-ую последовательность.

Попробуйте онлайн

Wolfram Language (Mathematica) , 42 байта

Nest[FoldList[Plus,1,#]&,Range[21-#],#-1]&

Попробуйте онлайн!

JavaScript (Node.js) , 58 байт

t=>Array(20).fill(t).map(g=(t,i)=>i--*t?g(t,i)+g(t-1,i):1)

Попробуйте онлайн!

Это тривиально записать следующую рекурсивную формулу на основе описания в вопросе

05AB1E , 11 9 байтов

20LIF.¥>¨

0 индексированные

Попробуйте онлайн или проверьте все контрольные примеры .

Объяснение:

20L        # Create a list in the range [1,20]
   IF      # Loop the input amount of times:
     .¥    #  Get the cumulative sum of the current list with 0 prepended automatically
       >   #  Increase each value in this list by 1
        ¨  #  Remove the trailing 21th item from the list
           # (after the loop, output the result-list implicitly)

R , 59 49 байт

f=function(n)`if`(n,Reduce(`+`,f(n-1),1,,T),1:20)

Попробуйте онлайн!

Рекурсивно Reduceс +, init=1и accumulation=TRUEчтобы избежать необходимости подмножества. Спасибо Criminally Vulgar за предложение рекурсивного подхода!

JavaScript (ES6),  68  67 байт

f=(n,a=[...f+f])=>n--?f(n,[s=1,...a.map(x=>s-=~--x)]):a.slice(0,20)

Попробуйте онлайн!

JavaScript (ES6), 63 байта

$n\le20$

f=(n,a=[...Array(20-n)])=>n--?f(n,[s=1,...a.map(x=>s+=x||1)]):a

Попробуйте онлайн!

J , 24 байта

<:(1+/\@,])^:[(1+i.20)"_

Попробуйте онлайн!

ПРИМЕЧАНИЕ: Оказывается, это перевод ответа APL от dzaima, хотя я на самом деле не заметил его до того, как написал это.

объяснение

<: (1 +/\@, ])^:[ (1+i.20)"_
<:                           NB. input minus 1 (left input)
                  (1+i.20)"_ NB. 1..20 (right input)
   (         )^:[            NB. apply verb in parens 
                             NB. "left input" times
   (1     , ])               NB. prepend 1 to right input
   (  +/\@   )               NB. and take scan sum

Рубин, 49 байтов

f=->n{n<1?[1]*20:[o=1]+f[n-1][0,19].map{|x|o+=x}}

Рекурсивное определение: уровень 0 равен 0, 1,1,1,1...а каждый последующий уровень равен 1, за которым следует последовательность, первыми отличиями которой являются предыдущий уровень. Досадно, что это дало бы мне 21 значение, если бы я не вырезал явно первые 20; кажется, должен быть способ сократить это, избегая этого.

Сетчатка , 59 байт

.+
19*$(_,

Заменить вход на 19 1с (в унарном виде). (20-е значение равно 0, потому что оно всегда удаляется при первом прохождении цикла.)

"$+"{`
)`

Повторите цикл исходного ввода количество раз.

(.+),_*
_,$1

Удалить последний элемент и префикс а 1.

_+(?<=((_)|,)+)
$#2*

Рассчитать накопленную сумму.

_+
$.&

Преобразовать в десятичную.

Попробуйте онлайн!

C # (интерактивный компилятор Visual C #) , 120 байт

n=>{for(long i=-1,h=0,m=0;++i<20;Print(i<1?1:h))for(m=h=0;m<=n;)h+=f(i)/(f(m)*f(i-m++));long f(long a)=>a>1?a*f(a-1):1;}

Попробуйте онлайн!

На основе формулы алефальфа.

Ржавчина , 135 байт

fn t(m:u64)->Vec<u64>{let f=|y|(1..=y).fold(1,|a,n|a*n);(0..20).map(|i| (0..=u64::min(i,m)).fold(0,|a,x|a+f(i)/f(x)/f(i-x))).collect()}

использовал идею @alephalpha, как и несколько других. нет встроенного факториала, который занимал бы по крайней мере 36 байтов (плюс работа с негативами). нет встроенного выбора, еще 16 байтов. iterator-> объявленный векторный тип, 20 байтов .. и т. д. и т. д.

Разрушенный на play.rust-lang.org

R ( 60 59 байт)

function(n)Reduce(function(p,q)2*p-choose(q-1,n),1:19,1,,1)

Онлайн демо

Простая реализация наблюдения

T (n, k) = 2 T (n-1, k) - бином (n-1, k). - М. Ф. Хаслер, 30 мая 2010 г.

из OEIS A008949 . Аргументами Reduceявляются (очевидно) функция, массив для сопоставления, начальное значение, ложное значение (для сгибания слева, а не справа) и истинное значение для накопления промежуточных результатов в массиве.

К (ок) , 17 байт

-1 байт благодаря ngn (переключение с 0 на 1)

{x(+\1,19#)/20#1}

Попробуйте онлайн!

1-индексированных

K (ок) , 18 байт

{x(+\1,19#)/1+!20}

Попробуйте онлайн!

0 индексированные

Желе , 10 байт

20RṖ1;ÄƲ⁸¡

Попробуйте онлайн!

0 индексированные.

Perl 5, 48 байт

$x=1,@A=(1,map$x+=$_,@A[0..18])for 0..$_;$_="@A"

TIO

Japt , 15 байт

0 индексированные; заменить hна pдля 1-индексированных.

ÈîXi1 å+}gNh20õ

Попытайся

CJam (20 байтов)

1aK*{1\{1$+}/;]}q~*p

Демо онлайн . Это программа, которая принимает входные данные из stdin и печатает в stdout; за тот же счет анонимный блок (функция) может быть получен как

{1aK*{1\{1$+}/;]}@*}

рассечение

Это применяет определение буквально:

1aK*      e# Start with an array of 20 1s
{         e# Loop:
  1\      e#   Push a 1 before the current list
  {1$+}/  e#   Form partial sums (including that bonus 1)
  ;]      e#   Ditch the last and gather in an array (of length 20)
}
q~*       e# Take input and repeat the loop that many times
p         e# Pretty print