Напишите функции x(a), y(a)причем z(a)такие, что для любых рациональных a все функции возвращают рациональные числа и x(a)*y(a)*z(a)*(x(a) + y(a) + z(a)) == a. Вы можете предположить, что ≥ 0.

Вам не нужно использовать рациональные типы или операции в вашей программе, если ваша программа математически обоснована. Например, если вы используете квадратный корень в своем ответе, вы должны показать, что его аргумент всегда является квадратом рационального числа.

Вы можете написать три именованные функции x, y, z или написать три программы вместо них, если функции громоздки или не существуют для вашего языка. В качестве альтернативы вы также можете написать одну программу / функцию, которая возвращает три числа x, y, z. Наконец, если вы предпочитаете, вы можете вводить / выводить рациональные числа в виде пары числитель / знаменатель. Ваша оценка - это общий размер трех функций или трех программ в байтах. Наименьший счет выигрывает.

Грубое принуждение не допускается. Для любого a = p / q, где p, q ≤ 1000, ваша программа должна быть запущена менее чем за 10 секунд.

---

Пример (это не означает, что ваша декомпозиция должна давать эти числа):

x = 9408/43615
y = 12675/37576
z = 1342/390
x*y*z*(x+y+z) = 1

CJam (59 байт)

{[WZ~C24X8TT]f*[4XGYC6 4Y].+_0=!>2%Z65135Zb+:(3/.f#:.*)W*+}

Это анонимный блок (функция), который принимает целое или двойное число в стеке и создает массив с тремя двойными числами. У него есть два случая для обработки всех неотрицательных входных данных, так как только в одном случае он будет разбит на один 0.25или 4. Это все еще ломается для входов -12и -1.3333333333333333, но спецификация позволяет это ...

Онлайн демо выполняет его , а затем складывает значения, печатает все четыре, и умножает их , чтобы показать , что он получает исходное значение (ошибка округления по модулю).

Математическое обоснование

$w = - x - y - z$$x + y + z + w = 0$$-xyzw = a$$xyzw + a = 0$

Elkies дает четыре семейства наборов решений. Эйлера:

$$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{6ast^3(at^4-2s^4)^2}{(4at^4+s^4)(2a^2t^8 + 10as^4t^4 - s^8)} \\ y & = & \frac{3s^5(4at^4+s^4)^2}{2t(at^4-2s^4)(2a^2t^8+10as^4t^4-s^8)} \\ z & = & \frac{2(2a^2t^8+10as^4t^4-s^8)}{3s^3t(4at^4+s^4)} \\ w & = & \frac{-(2a^2t^8+10as^4t^4-s^8)}{6s^3t(at^4-2s^4)} \end{eqnarray*}$$

Один, связанный с Эйлера:

$$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)}{12s^3(s^4-a)(8s^8+20as^4-a^2)}\\ y & = & \frac{(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)}{12s^3(8s^4+a)(8s^8+20as^4-a^2)}\\ z & = & \frac{192as^5(s^4-a)^2(8s^4+a)^2}{(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)(8s^8+20as^4-a^2)}\\ w & = & \frac{-3s(8s^8+20as^4-a^2)^3}{4(s^4-a)(8s^4+a)(8s^8+a^2)(8s^8-88as^4-a^2)}\\ \end{eqnarray*}$$

Проще:

$$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{(s^4-4a)^2}{2s^3(s^4+12a)} \\ y & = & \frac{2a(3s^4+4a)^2}{s^3(s^4-4a)(s^4+12a)} \\ z & = & \frac{s^5+12as}{2(3s^4+4a)} \\ w & = & \frac{-2s^5(s^4+12a)}{(s^4-4a)(3s^4+4a)} \\ \end{eqnarray*}$$

И один, связанный с этим:

$$\begin{eqnarray*} x & = & \frac{s^5(s^4-3a)^3}{2(s^4+a)(s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3)} \\ y & = & \frac{s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3}{2s^3(s^4-3a)(3s^4-a)} \\ z & = & \frac{2a(s^4+a)^2(3s^4-a)^2}{s^3(s^4-3a)(s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3)} \\ w & = & \frac{-2s(s^{12}+12as^8-3a^2s^4+2a^3)}{(s^4-3a)(s^4+a)(3s^4-a)} \end{eqnarray*}$$

$ps^4 - qa$$p$$q$$a$$a$$s=1$$s=2$

Аксиома, 191 байт

f(s,a)==(b:=s^4-4*a;c:=s^4+12*a;x:=3*s^4+4*a;[b^2/(2*c*s^3),2*a*x^2/(b*c*s^3),s*c/(2*x)])
g(a:FRAC INT):List FRAC INT==(s:=1;repeat(s^4=4*a or s^4=-12*a or 3*s^4=4*a=>(s:=s+1);break);f(s,a))

Это перенос формулы отчета Питера Тейлора на этой странице с некоторым кодом сделает знаменатели не равными 0. Один тест

(7) -> y:=g(1)
          9   98 13
   (7)  [--,- --,--]
         26   39 14
                                              Type: List Fraction Integer
(8) -> y.1*y.2*y.3*(y.1+y.2+y.3)
   (8)  1
                                              Type: Fraction Integer